质点 $P$、$Q$、$R$ 均静止在光滑水平面上。

如图 3 所示，三个质点共线，$Q$ 位于 $P$ 与 $R$ 之间。

$P$ 的质量为 $2m$，$Q$ 的质量为 $3m$，$R$ 的质量为 $5m$。

每对质点之间的恢复系数均为 $e$。

将质点 $P$ 以速率 $2u$ 向 $Q$ 发射，两者发生碰撞。

(a) 证明碰撞后瞬间 $Q$ 的速率为

碰撞使 $P$ 的运动方向反转。

(b) 求 $e$ 的完整可能取值范围。

碰撞中 $P$ 对 $Q$ 施加的冲量大小为 $\frac{108}{25}mu$。

(c) 证明 $e=\frac45$。

(d) 判断 $P$、$Q$ 是否会发生第二次碰撞，并给出清楚的推理。

用 P 最初运动方向为正，设第一次碰后两粒子的有符号速度。动量守恒与恢复定律联立，避免先假设 P 的方向。

Take the initial direction of $P$ as positive. Let its velocity after the first collision be $V$, and let the velocity of $Q$ be $w$. Conservation of momentum gives

Newton’s law of restitution gives

Substituting,

This is positive, so it is also the speed of $Q$.

反向运动要求 P 的有符号速度严格小于零，而不是小于等于零；再与恢复系数的物理范围取交集。

From part (a),

For the direction of $P$ to be reversed, $V<0$, so $e>2/3$. Also $0\leq e\leq1$ for a coefficient of restitution. Therefore

Q 初始静止，第一次所受冲量等于其末动量。代入 a 的结果求恢复系数。

The impulse on $Q$ is in its direction of motion. Since $Q$ is initially at rest,

Using part (a),

先算 Q 与 R 碰后 Q 的速度，再与仍向左运动的 P 比较。要说明碰撞后的相对位置及追赶方向，不能只比较两个速度大小。

With $e=4/5$, after the first collision,

Thus $P$ moves left while $Q$ moves right and collides with the initially stationary $R$. Let the signed velocities of $Q$ and $R$ after their collision be $q$ and $r$, with right positive. Conservation of momentum gives

Restitution gives

Eliminating $r$,

Also $r=243u/250>0$. After this collision, $Q$ is to the right of $P$, but both move left. Their leftward speeds are

Since $Q$ is behind $P$ in their direction of motion and is faster by $u/50>0$, it catches $P$. Therefore $\boxed{\text{there will be a second collision between }P\text{ and }Q}$.