本题必须展示所有计算步骤。 不接受依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 沿 $x$ 轴运动。 在 $t=0$ 时，$P$ 静止于原点 $O$。 在 $t$ 秒时，$t\geqslant0$，$P$ 沿 $x$ 轴正方向的加速度为

其中 $k$ 为正常数。

已知当 $t=1.5$ 时，$P$ 的速率为 $13.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，

(a) 证明 $k=4$。

$P$ 相对于 $O$ 沿 $x$ 轴正方向的位移为 $s$ 米。

(b) 证明

(c) 求 $P$ 返回 $O$ 之前运动的总路程。

先对加速度积分，并用初始静止确定常数。速率条件代入前要确认此时速度为正；用分数展示手算，不依赖计算器求参数。

Integrating the acceleration,

Since $v=0$ at $t=0$, $C=0$.

At $t=3/2$,

As $k>0$, the velocity is positive, so the given speed $13.5=27/2$ is also the velocity. Hence

and therefore

位移是速度的积分。继续使用初始位置为原点确定第二个积分常数，再将结果因式分解为题目要求的形式。

Using (a),

Integrating,

At $t=0$, $s=0$, so $D=0$. Thus

and factorising gives

先由速度为零找转向点，再由位移为零确认首次返回时间。路程是向外到转向点的距离加返回原点的距离，不能用总位移零作答案。

The velocity is

For $t>0$, $v=0$ gives $t=3$. The velocity is positive before $t=3$ and negative afterwards.

The positive return time follows from (b):

so $t=3\sqrt2>3$. Hence the particle reverses once before its first return.

At the turning point,

It travels 27 m outwards and 27 m back to $O$, so the total distance is