质量为 $2m$ 的质点 $P$ 与质量为 $m$ 的质点 $Q$，均静止在光滑水平面上。将质点 $P$ 以速率 $u$ 沿平面向 $Q$ 发射，两质点发生碰撞。两质点之间的恢复系数为 $e$，其中 $e>0$。

(a) 证明碰撞后 $Q$ 的速率为 $\frac{2(1+e)u}{3}$。

碰撞损失的总动能为 $k(1-e^2)mu^2$，其中 $k$ 为常数。

(b) 求 $k$ 的值。

碰撞中 $Q$ 对 $P$ 的冲量大小为 $\frac{8mu}{9}$。

(c) 求 $e$ 的值。

碰撞后，$Q$ 继续运动并撞上垂直于其运动方向的固定竖直墙。$Q$ 与墙之间的恢复系数为 $f$。

$Q$ 撞墙后，其速率与 $P$ 相同。

(d) 求 $f$ 的值。

选 $P$ 初始运动方向为正。联立系统动量守恒和两粒子的分离速率关系，并展示消元步骤，推出给定速度。

Let the velocities after collision be $v_P$ and $v_Q$, positive in the initial direction of $P$.

Conservation of momentum gives

so

Newton’s law of restitution gives

so $v_P=v_Q-eu$. Substituting,

Hence

Since this value is positive, the speed of $Q$ is

先求 $P$ 的末速度，写两粒子的末动能并完整展开。总动能损失才能与题目给出的系数形式比较，不能只列最后结果。

From restitution and (a),

The kinetic energy after collision is

Therefore

Expanding the bracket,

Thus

The initial kinetic energy is $K_0=\tfrac12(2m)u^2=mu^2$. Hence the loss is

Comparing with the given form gives

题目给的是 $Q$ 对 $P$ 的冲量大小。用作用反作用取 $P$ 对 $Q$ 的等大冲量，因 $Q$ 初始静止，可直接等于其末动量。

The impulse on $Q$ has the same magnitude as that on $P$. Since $Q$ was initially at rest,

Using (a),

Cancelling $mu>0$,

so

Hence

代入已求的恢复系数，先算两粒子第一次碰撞后的速率。墙反弹后 $Q$ 反向，但题目只要求速率相等，所以比较大小而不是有符号速度。

With $e=1/3$,

After its impact with the fixed wall, the speed of $Q$ is $fv_Q$. The required equal speeds give

Therefore