质量为 $m$、长为 $2a$ 的均匀杆 $AB$，其 $A$ 端位于粗糙水平地面上。

一条光滑水平横杆固定于地面上方。

杆 $AB$ 在 $C$ 点靠在横杆上并处于平衡状态，其中 $AC=1.5a$。

包含杆 $AB$ 的竖直平面垂直于横杆。

如图 2 所示，杆 $AB$ 与地面成 $\theta$ 角。

$C$ 点处施加于杆 $AB$ 的法向反作用力大小为 $S$。

(a) 证明 $S=\frac{2mg\cos\theta}{3}$。

$A$ 点处施加于杆 $AB$ 的力的竖直分量大小为 $V$。

(b) 证明 $V=\frac{mg}{3}(3-2\cos^2\theta)$。

已知杆处于极限平衡状态，杆与地面之间的摩擦系数为 $\frac47$，

(c) 证明

其中 $p$、$q$、$r$ 为待求的整数。

光滑横杆施加的反力垂直于杆 $AB$，因此对 $A$ 的力臂是 $AC$。均匀杆重作用于中点，对应水平力臂 $a\cos\theta$。

The reaction $S$ at the smooth rail is perpendicular to the rod. The weight $mg$ acts at the midpoint, a distance $a$ from $A$.

Taking moments about $A$,

Dividing by $1.5a$ gives

地面竖直支持力与横杆反力的竖直分量共同平衡重力。代入上一问后提取 $mg/3$，证明指定形式。

The upward vertical component of the rail reaction is $S\cos\theta$. Vertical equilibrium gives

Hence, using (a),

Therefore

地面极限摩擦为 $4V/7$，水平平衡给它等于 $S\sin\theta$。代入后除以正的 $\cos^2\theta$，再用恒等式把所有项化成正切，逐步求整数系数。

Let the friction at $A$ be $F$, acting to the right. In limiting equilibrium,

Horizontal equilibrium gives

Substituting (a) and (b),

Cancelling $mg/3$ and multiplying by 7,

Since $0<\theta<90^\circ$, $\cos^2\theta>0$. Dividing by $\cos^2\theta$ gives

Using $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$,

Thus

and dividing by 2 gives

Hence one choice of integer coefficients is