题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

At time $t$ seconds $(t\geqslant0)$ a particle $P$ has position vector $\mathbf{r}$ metres, with respect to a fixed origin $O$ , where

\mathbf{r}=(16t-3t^3)\mathbf{i}+(t^3-t^2+2)\mathbf{j}

Find

(a) the velocity of $P$ at the instant when it is moving parallel to the vector $\mathbf{j}$ ,

(5)

(b) the magnitude of the acceleration of $P$ when $t=4$

(4)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术的解法。

在 $t$ 秒时 $(t\geqslant0)$ ，质点 $P$ 相对于固定原点 $O$ 的位置向量为 $\mathbf{r}$ 米，其中

\mathbf{r}=(16t-3t^3)\mathbf{i}+(t^3-t^2+2)\mathbf{j}

求

(a) $P$ 沿平行于向量 $\mathbf{j}$ 的方向运动的瞬间的速度；

(5)

(b) $t=4$ 时 $P$ 的加速度大小。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

速度平行于 j 时，i 分量为零而 j 分量非零。先手动微分，解出非负时刻，再代回完整速度向量。

答题过程

展开

Differentiating the position vector,

\boldsymbol v=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol r}{\mathrm{d}t}=(16-9t^2)\boldsymbol i+(3t^2-2t)\boldsymbol j.

For motion parallel to $\boldsymbol j$ ,

16-9t^2=0,\qquad t=\pm\frac43.

Since $t\geq0$ , only $t=4/3$ is admissible. Substitution gives

3t^2-2t=3\left(\frac{16}{9}\right)-2\left(\frac43\right)=\frac83\ne0.

Therefore the required velocity is

\boxed{\boldsymbol v=\frac83\boldsymbol j\text{ m s}^{-1}}.

(b)

解法一

思路

展开

再微分一次得到加速度，在 t=4 代值后求模，展示根式计算。

答题过程

展开

\boldsymbol a=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol v}{\mathrm{d}t}=-18t\boldsymbol i+(6t-2)\boldsymbol j.

At $t=4$ ,

\boldsymbol a=-72\boldsymbol i+22\boldsymbol j\text{ m s}^{-2}.

Its magnitude is

|\boldsymbol a|=\sqrt{(-72)^2+22^2}=\sqrt{5184+484}=\boxed{2\sqrt{1417}\text{ m s}^{-2}}.

M2 2025 Oct A Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程