题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

A particle $P$ moves on the $x$ -axis.

At time $t$ seconds, $t\geqslant0$

the acceleration of $P$ is $(2t-3)\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ in the positive $x$ direction
the velocity of $P$ is $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ in the positive $x$ direction

When $t=3$ , $v=2$

(a) Find $v$ in terms of $t$ .

(4)

The particle first comes to instantaneous rest at the point $A$ and then comes to instantaneous rest again at the point $B$ .

(b) Find the distance $AB$ .

(6)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 沿 $x$ 轴运动。

在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ，

$P$ 沿 $x$ 轴正方向的加速度为 $(2t-3)\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ；
$P$ 沿 $x$ 轴正方向的速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

当 $t=3$ 时， $v=2$ 。

(a) 用 $t$ 表示 $v$ 。

(4)

质点首次瞬时静止于 $A$ 点，随后再次瞬时静止于 $B$ 点。

(b) 求距离 $AB$ 。

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对加速度积分，利用 t=3 时的速度确定积分常数，不能默认初速度为零。

答题过程

展开

Since $a=\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=2t-3$ ,

v=\int(2t-3)\,\mathrm{d}t=t^2-3t+C.

Using $v=2$ at $t=3$ ,

2=9-9+C,\qquad C=2.

Therefore

\boxed{v=t^2-3t+2}.

(b)

解法一

思路

展开

先求两次静止的时刻。两时刻之间速度为负，定积分给的是负位移，距离需取正值；必须展示积分上下限的代入。

答题过程

展开

At rest,

t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=0.

Thus the first and second rest times are $t=1$ and $t=2$ . For $1<t<2$ , $v<0$ , so the particle moves in one direction from $A$ to $B$ . Its displacement from $A$ to $B$ is

s=\int_1^2(t^2-3t+2)\,\mathrm{d}t=\left[\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t\right]_1^2,

s=\left(\frac83-6+4\right)-\left(\frac13-\frac32+2\right)=\frac23-\frac56=-\frac16\text{ m}.

Therefore the distance is

\boxed{AB=\frac16\text{ m}}.

M2 2025 Oct A Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程