质点 $P$ 从固定点 $A$ 以速率 $12\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、与水平面向上成 $\alpha$ 角抛出，仅在重力作用下自由运动。

当 $P$ 经过轨迹上的 $B$ 点时，$P$ 以速率 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、与水平面向下成 $\beta$ 角运动。

(a) 利用机械能守恒原理，求 $A$、$B$ 之间的竖直距离。

质点 $P$ 从 $A$ 到 $B$ 用时 $1.5$ 秒。

(b) 求角 $\alpha$ 的大小。

(c) 求角 $\beta$ 的大小。

(d) 求 $P$ 的速率小于 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的持续时间。

按要求使用机械能守恒。速度减小表示势能增加，因此 B 比 A 高。保留未舍入高度供后面计算。

Let the mass be $m$ and the height of $B$ above $A$ be $h$. Conservation of mechanical energy gives

Thus

with $B$ above $A$. The value $h=40/g$ will be retained in subsequent calculations.

用 1.5 秒内的竖直位移建立方程。这里 α 是向上与水平的锐角，选对应的反正弦值。

Taking upwards as positive, over the $1.5$ s from $A$ to $B$,

Hence

Since the projection is above the horizontal,

水平速度不变，B 点竖直速度向下。保留角度未舍入值，求向下与水平的正夹角。

At $B$,

Since $\beta$ is the angle below the horizontal,

Using the unrounded value of $\alpha$,

水平速度固定，速率在最高点最小。速率等于 8 的两个时刻关于最高点对称，B 是下降时的边界；求两个边界之间的时间长度。

The time to maximum height is

The horizontal velocity is constant, and the vertical velocity is $g(t_0-t)$. Therefore the speed is symmetric about $t=t_0$ and is smallest there. The descending boundary at which the speed is $8\text{ m s}^{-1}$ is $t=1.5$. The ascending boundary is consequently $t=2t_0-1.5$. Thus the duration for which the speed is less than $8\text{ m s}^{-1}$ is

也可直接把速率小于 8 写成竖直速度的范围，求出两个时间端点。这能避免把飞行总时间误作所求时间。

Let $u_y=12\sin\alpha$ and $u_x=12\cos\alpha$. Then

At $B$, $v=8$ and the downward vertical speed has magnitude

Thus $8^2-u_x^2=q^2$, and the condition $v<8$ becomes

Therefore

and the duration is