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M2 2025 Oct Q2

A Level / Edexcel / M2

IAL 2025 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

2.

[In this question, i\mathbf{i} and j\mathbf{j} are perpendicular horizontal unit vectors.]

A particle PP of mass 2 kg2\,\mathrm{kg} is moving on a smooth horizontal plane with velocity 4i m s−14\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}

The particle receives a horizontal impulse of magnitude 29 N s\sqrt{29}\,\mathrm{N\,s}.

Immediately after receiving the impulse, the velocity of PP is (3i+λj) m s−1(3\mathbf{i}+\lambda\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}, where λ\lambda is a positive constant.

(a) Find the value of λ\lambda

(4)

(b) Find the size of the angle between the direction of motion of PP immediately before receiving the impulse and the direction of the impulse.

(3)
题目中文翻译

[ 本题中，i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 是互相垂直的水平单位向量。 ]

质量为 2 kg2\,\mathrm{kg} 的质点 PP 在光滑水平面上以速度 4i m s−14\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}} 运动。

质点受到大小为 29 N s\sqrt{29}\,\mathrm{N\,s} 的水平冲量。

受到冲量后瞬间，PP 的速度为 (3i+λj) m s−1(3\mathbf{i}+\lambda\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}，其中 λ\lambda 为正常数。

(a) 求 λ\lambda 的值。

(4)

(b) 求 PP 受到冲量前瞬间的运动方向与冲量方向之间的夹角。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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冲量是质量乘速度变化。用冲量向量的模建立方程，最后利用 lambda 为正选根。

答题过程

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The impulse is

I=m(v−u)=2[(3i+λj)−4i]=−2i+2λj.\boldsymbol I=m(\boldsymbol v-\boldsymbol u)=2[(3\boldsymbol i+\lambda\boldsymbol j)-4\boldsymbol i]=-2\boldsymbol i+2\lambda\boldsymbol j.

Since its magnitude is 29\sqrt{29},

(−2)2+(2λ)2=29,λ2=254.(-2)^2+(2\lambda)^2=29,\qquad \lambda^2=\frac{25}{4}.

As λ>0\lambda>0,

λ=52.\boxed{\lambda=\frac52}.

(b)

解法一

思路

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求的是初运动方向与冲量方向的夹角，不是初、末速度的夹角。冲量水平分量为负、竖直分量为正，所以角在第二象限。

答题过程

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The initial velocity is in the direction of i\boldsymbol i, while

I=−2i+5j.\boldsymbol I=-2\boldsymbol i+5\boldsymbol j.

Let θ\theta be the angle between these directions. Using the scalar product,

cos⁡θ=i⋅(−2i+5j)∣i∣29=−229.\cos\theta=\frac{\boldsymbol i\mathbin\cdot(-2\boldsymbol i+5\boldsymbol j)}{|\boldsymbol i|\sqrt{29}}=-\frac2{\sqrt{29}}.

Therefore

θ=111.8∘(1 d.p.).\boxed{\theta=111.8^\circ}\quad(1\text{ d.p.}).

解法二

思路

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也可先求冲量与负 i 方向的锐角，再取补角。必须保留象限判断。

答题过程

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The impulse has components −2-2 and 55. It lies in the second quadrant, so the required angle is

θ=180∘−tan⁡−1(52)=111.8∘.\theta=180^\circ-\tan^{-1}\left(\frac52\right)=\boxed{111.8^\circ}.