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M2 2025 Oct Q3

A Level / Edexcel / M2

IAL 2025 Oct Paper · Question 3

题目

Problem

3.

[In this question, the perpendicular unit vectors i\mathbf{i} and j\mathbf{j} are in a horizontal plane.]

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

A particle QQ is moving on a smooth horizontal plane.

At time tt seconds, t⩾0t\geqslant0, the position vector of QQ, relative to a fixed origin, is r\mathbf{r} metres and the velocity of QQ is v m s−1\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}

It is given that v=(2t+3)i+(t2−5t−15)j\mathbf{v}=(2t+3)\mathbf{i}+(t^2-5t-15)\mathbf{j}

(a) Find the acceleration of QQ when t=4t=4

(2)

When t=1t=1, r=6i−2j\mathbf{r}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}

(b) Find an exact expression for r\mathbf{r} in terms of tt, i\mathbf{i} and j\mathbf{j}

(4)

When t=Tt=T, particle QQ is moving in the direction of the vector 5i−3j5\mathbf{i}-3\mathbf{j}

(c) Find the exact speed of QQ when t=Tt=T

(5)
题目中文翻译

[ 本题中，互相垂直的单位向量 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 位于水平面内。 ]

本题必须展示所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术的解法。

质点 QQ 在光滑水平面上运动。

在 tt 秒时，t⩾0t\geqslant0，QQ 相对于固定原点的位置向量为 r\mathbf{r} 米，速度为 v m s−1\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}。

已知 v=(2t+3)i+(t2−5t−15)j\mathbf{v}=(2t+3)\mathbf{i}+(t^2-5t-15)\mathbf{j}。

(a) 求 t=4t=4 时 QQ 的加速度。

(2)

当 t=1t=1 时，r=6i−2j\mathbf{r}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}。

(b) 求用 tt、i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 表示的 r\mathbf{r} 的精确表达式。

(4)

当 t=Tt=T 时，质点 QQ 沿向量 5i−3j5\mathbf{i}-3\mathbf{j} 的方向运动。

(c) 求 t=Tt=T 时 QQ 的精确速率。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

分别对速度的两个分量求导，题目要求的是加速度向量。

答题过程

展开 a=dvdt=2i+(2t−5)j.\boldsymbol a=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol v}{\mathrm{d}t}=2\boldsymbol i+(2t-5)\boldsymbol j.

At t=4t=4,

a=(2i+3j) m s−2.\boxed{\boldsymbol a=(2\boldsymbol i+3\boldsymbol j)\text{ m s}^{-2}}.

(b)

解法一

思路

展开

分别积分并保留两个积分常数，用 t=1 的位置同时求出常数；全程保留分数。

答题过程

展开

Integrating the velocity component by component,

r=(t2+3t+A)i+(t33−5t22−15t+B)j.\boldsymbol r=(t^2+3t+A)\boldsymbol i+\left(\frac{t^3}{3}-\frac{5t^2}{2}-15t+B\right)\boldsymbol j.

Using r=6i−2j\boldsymbol r=6\boldsymbol i-2\boldsymbol j at t=1t=1,

1+3+A=6⇒A=2,1+3+A=6\quad\Rightarrow\quad A=2, 13−52−15+B=−2⇒B=916.\frac13-\frac52-15+B=-2\quad\Rightarrow\quad B=\frac{91}{6}.

Hence

r=(t2+3t+2)i+(t33−5t22−15t+916)j m.\boxed{\boldsymbol r=(t^2+3t+2)\boldsymbol i+\left(\frac{t^3}{3}-\frac{5t^2}{2}-15t+\frac{91}{6}\right)\boldsymbol j\text{ m}}.

(c)

解法一

思路

展开

方向相同要求速度是给定向量的正倍数。先用分量比例求时刻，再检查倍数为正，最后求模。

答题过程

展开

At t=Tt=T, the velocity is parallel to 5i−3j5\boldsymbol i-3\boldsymbol j, so

−3(2T+3)=5(T2−5T−15).-3(2T+3)=5(T^2-5T-15).

Expanding and rearranging,

5T2−19T−66=0,5T^2-19T-66=0, (5T+11)(T−6)=0.(5T+11)(T-6)=0.

Since T≥0T\geq0, T=6T=6. At this time,

v=15i−9j=3(5i−3j).\boldsymbol v=15\boldsymbol i-9\boldsymbol j=3(5\boldsymbol i-3\boldsymbol j).

The multiplier is positive, so the direction is correct. The exact speed is

152+(−9)2=334 m s−1.\sqrt{15^2+(-9)^2}=\boxed{3\sqrt{34}\text{ m s}^{-1}}.