本题可直接假设：半径为 $r$ 的均匀半圆形薄片的质心到其直径的距离为 $\dfrac{4r}{3\pi}$，无须证明。

均匀薄片 $ABDE$ 是矩形，$AB=2a$，$AE=8a$。

均匀薄片 $BCD$ 是半圆，直径 $BD=8a$。

点 $P$、$R$ 位于 $BD$ 上，且 $BP=RD=2a$。

均匀薄片 $PQR$ 是半圆，直径 $PR=4a$。

薄片 $ABDE$ 的单位面积质量与薄片 $BCD$ 的单位面积质量相同。

将薄片 $ABDE$ 与薄片 $BCD$ 连接，再挖去薄片 $PQR$，形成图 2 阴影所示的均匀模板 $ABCDE$。

模板质心到 $BD$ 的距离为 $d$。

(a) 证明 $d=\dfrac{32a}{3(8+3\pi)}$。

模板可绕过 $B$ 的光滑水平轴在竖直平面内自由转动，自由悬挂平衡时，$BD$ 与竖直向下方向成 $\phi^\circ$ 角。

(b) 求 $\phi$ 的值。

模板的重量为 $15W$。一个重为 $kW$ 的质点连接于模板的 $E$ 点。

模板再次可绕过 $B$ 的光滑水平轴在竖直平面内自由转动。在 $E$ 点对模板施加大小为 $W$、指向 $D$ 的水平力，使模板平衡，且 $BD$ 竖直。

(c) 求 $k$ 的值。

以 BD 为参考轴向右为正。矩形在左侧，因此其质心坐标为负；洞要用负面积。上下对称不影响水平面积矩。

Take signed perpendicular distances from $BD$, positive towards $C$. Since the template is uniform, masses are proportional to areas. The rectangle has area $16a^2$ and centroid coordinate $-a$. The large semicircle has radius $4a$, area $8\pi a^2$, and centroid coordinate $16a/(3\pi)$. The removed semicircle has radius $2a$, area $2\pi a^2$, and centroid coordinate $8a/(3\pi)$. Thus the total area is $(16+6\pi)a^2$. Taking moments about $BD$,

The right-hand side is

Therefore

The positive result places the centre of mass to the right of $BD$.

自由悬挂时质心必须在悬点 B 的正下方。由上下对称，质心沿 BD 方向距 B 为 4a，再用水平偏移 d 求夹角。

By symmetry, the centre of mass $G$ lies on the line through the midpoint of $BD$ perpendicular to $BD$. Its component along $BD$ from $B$ is therefore $4a$, and its perpendicular component is $d$. In hanging equilibrium, $BG$ is vertically downwards. Hence the angle between $BD$ and the downward vertical satisfies

Therefore

BD 竖直时，模板重力在右侧、附重在左侧；E 点向右的水平力与附重产生同向力矩。绕 B 取矩，轴的反力被消去。

With $BD$ vertical, the template’s weight $15W$ acts a horizontal distance $d$ to the right of $B$, giving a clockwise moment. The particle at $E$ is $2a$ to the left of $B$, and the horizontal force $W$ at $E$ acts to the right at distance $8a$ below $B$. Both give anticlockwise moments. Taking moments about $B$,

Substituting part (a) and dividing by $2aW$,

Thus