一个光滑实心半球的平面面与粗糙水平地面接触并被固定。半球的球心为 $O$，半径为 $7a$。

长为 $30a$、重为 $W$ 的均匀杆 $AB$ 靠在半球上并处于极限平衡，$A$ 端位于地面上。杆与半球在 $C$ 点接触。如图 3 所示，杆与地面成 $\theta$ 角。

点 $A$、$C$、$B$、$O$ 均位于同一竖直平面内。

已知 $AO=25a$，

(a) 证明 $AC=24a$。

(b) 证明杆在 $C$ 点受到的法向反作用力大小为 $\dfrac35W$。

杆与地面在 $A$ 点处的摩擦系数为 $\mu$。

(c) 求 $\mu$ 的值。

接触处的半径垂直切线杆，因此 AOC 是直角三角形，可用勾股定理。

The rod is tangent to the hemisphere at $C$, so $OC\perp AC$. By Pythagoras in triangle $AOC$,

光滑球面的反力沿半径，垂直于杆。绕 A 取矩时，该反力力臂就是 AC；杆重作用于杆的中点。

From triangle $AOC$,

Let the normal reaction at $C$ be $N$. It is perpendicular to the rod. The rod’s centre of mass is $15a$ from $A$ along the rod, so its weight has moment arm $15a\cos\theta$ about $A$. Taking moments about $A$,

Hence

球面反力向左上方，因此地面摩擦力向右。分别求地面竖直支持力和水平摩擦力，再使用极限平衡条件。

Let the vertical ground reaction at $A$ be $R$, and the friction there be $F$ acting towards $O$. The reaction at $C$ has components $N\cos\theta$ upwards and $N\sin\theta$ to the left. Vertical equilibrium gives

Horizontal equilibrium gives

Since the rod is in limiting equilibrium, $F=\mu R$. Therefore