题目

Problem

A rough straight ramp is fixed at an angle $\alpha$ to horizontal ground, where $\tan\alpha=\dfrac5{12}$

The point $A$ is at the bottom of the ramp and the point $B$ is at the top of the ramp.

Points $A$ and $B$ are on a line of greatest slope of the ramp, with $AB=5\,\mathrm{m}$ , as shown in the sketch in Figure 4.

A particle of mass $0.5\,\mathrm{kg}$ is projected up the ramp from $A$ , along the line $AB$ , with speed $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . At the instant when it reaches $B$ , the speed of the particle is $26\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

The coefficient of friction between the particle and the ramp is $\dfrac13$

(a) Find the work done against friction as the particle moves from $A$ to $B$ .

(3)

(b) Use the work–energy principle to find the value of $U$ .

(4)

After leaving the ramp at $B$ , the particle moves freely under gravity.

The particle is above the level of $B$ for $T$ seconds.

(3)

The particle hits the ground for the first time at the point $C$ .

(d) Find the distance $AC$ .

(6)

题目中文翻译

一条粗糙直斜坡固定于水平地面上，与地面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\dfrac5{12}$ 。

$A$ 点位于斜坡底端， $B$ 点位于斜坡顶端。

如图 4 的草图所示， $A$ 、 $B$ 位于斜坡的同一条最大坡度线上，且 $AB=5\,\mathrm{m}$ 。

一个质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点从 $A$ 沿直线 $AB$ 以速率 $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿斜坡向上发射。质点到达 $B$ 的瞬间的速率为 $26\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

质点与斜坡之间的摩擦系数为 $\dfrac13$ 。

(a) 求质点从 $A$ 到 $B$ 过程中克服摩擦力所做的功。

(3)

(b) 利用功—能原理求 $U$ 的值。

(4)

质点离开斜坡的 $B$ 点后，仅在重力作用下自由运动。

质点在 $B$ 点所在水平面上方运动的时间为 $T$ 秒。

(3)

质点首次落地的位置为 $C$ 点。

(d) 求距离 $AC$ 。

(6)

解答

(a)

解法一

思路

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先由 5–12–13 三角形求坡角的正弦和余弦。支持力决定摩擦力，克服摩擦所做功等于摩擦力乘坡长。

答题过程

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Since $\tan\alpha=5/12$ ,

\sin\alpha=\frac5{13},\qquad \cos\alpha=\frac{12}{13}.

Perpendicular to the ramp, the normal reaction is

R=0.5g\cos\alpha.

The frictional force while the particle moves up the ramp is

F=\frac13R=\frac13\left(\frac12g\frac{12}{13}\right)=\frac{2g}{13}.

Therefore the work done against friction is

E_f=F(5)=\frac{10g}{13}=\boxed{7.54\text{ J}}\quad(3\text{ s.f.}).

(b)

解法一

思路

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按题目要求用功—能：初动能等于末动能加势能增加及摩擦耗能。坡顶高度是坡长乘 sin。

答题过程

展开

The vertical rise from $A$ to $B$ is $5\sin\alpha=25/13$ m. By the work–energy principle,

\frac12(0.5)U^2=\frac12(0.5)(26)^2+0.5g\left(\frac{25}{13}\right)+\frac{10g}{13}.

Multiplying by $4$ ,

U^2=676+\frac{90g}{13}.

Therefore

U=\sqrt{676+\frac{90(9.8)}{13}}=\boxed{27.3\text{ m s}^{-1}}\quad(3\text{ s.f.}).

(c)

解法一

思路

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离开坡顶时速度沿坡方向。求位于 B 水平面上方的时间，起点与终点高度相同，所以竖直位移为零；这不是落地总时间。

答题过程

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At $B$ , the horizontal and vertical velocity components are

u_x=26\cos\alpha=24,\qquad u_y=26\sin\alpha=10.

On returning to the level of $B$ after time $T$ ,

0=10T-\frac12gT^2.

Taking the nonzero solution,

T=\frac{20}{g}=\boxed{2.04\text{ s}}\quad(3\text{ s.f.}).

(d)

解法一

思路

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从 B 计时，落地时竖直位移是负的坡顶高度。求正时间根后，水平位移还要加上 A 到 B 的水平投影。

答题过程

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Let $t$ be the time from leaving $B$ to hitting the ground at $C$ . Taking upwards as positive,

-\frac{25}{13}=10t-\frac12gt^2.

The positive root is

t=\frac{10+\sqrt{100+2g(25/13)}}{g}=2.2177\ldots\text{ s}.

The horizontal distance from the point vertically below $B$ to $C$ is $24t$ . Since the horizontal projection of $AB$ is $5\cos\alpha=60/13$ ,

AC=\frac{60}{13}+24t=\boxed{57.8\text{ m}}\quad(3\text{ s.f.}).

解法二

思路

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也可把飞行分成上升到最高点、再从最高点自由下落两段。先求最高点距地面的高度，再求下落时间。

答题过程

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The time from $B$ to the highest point is

t_1=\frac{10}{g}.

The highest point is at height

H=\frac{25}{13}+\frac{10^2}{2g}

above the ground. Starting with zero vertical velocity there, the fall time to the ground is

t_2=\sqrt{\frac{2H}{g}}.

The horizontal velocity remains $24\text{ m s}^{-1}$ throughout the flight, so

AC=\frac{60}{13}+24\left[\frac{10}{g}+\sqrt{\frac2g\left(\frac{25}{13}+\frac{100}{2g}\right)}\right]=\boxed{57.8\text{ m}}.

M2 2025 Oct Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程