一个质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 沿 $x$ 轴正半轴向 $x$ 轴正方向运动。

在 $t$ 秒时，$t\geqslant1$，$P$ 距原点 $O$ 为 $x$ 米，速率为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

作用于 $P$ 的合力大小为 $\dfrac2{x^3}\,\mathrm{N}$，方向指向 $O$。

当 $t=1$ 时，$x=1$ 且 $v=3$。

证明

(a) $v^2=\dfrac4{x^2}+5$；

(b) $t=\dfrac{a+\sqrt{bx^2+c}}d$，其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 是待求的整数。

合力朝原点，与正向速度相反。用 a=v dv/dx 把运动方程写成位置的微分方程，积分后用 x=1、v=3 确定常数。

Taking the positive $x$ direction as positive, Newton’s second law gives

Separating variables and integrating,

Using $v=3$ when $x=1$,

Hence

力随位置变化，也可直接对力作功的积分，等于动能变化。必须使用实际质量 0.5 千克，并让合力的功为负。

By the work–energy principle, between positions $1$ and $x$,

The right-hand side is

Thus

题目给定沿正方向运动且 x>0，所以取速度的正根。把根式改写成 sqrt(5x²+4)/x，分离变量后可用简单换元积分。

Since the particle moves in the positive $x$ direction and $x>0$,

Separating variables,

Using the substitution $z=5x^2+4$, with $\mathrm{d}z=10x\,\mathrm{d}x$,

At $t=1$, $x=1$, so

Rearranging,

One set of the required integers is $\boxed{a=2,\ b=5,\ c=4,\ d=5}$.