一根弹性轻绳的原长为 $a$，弹性模量为 $\dfrac34mg$。一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于绳的一端，另一端连接于固定点 $A$。质点 $P$ 在 $A$ 正下方的 $O$ 点自由悬挂并处于平衡。

(a) 求距离 $OA$。

现在将质点 $P$ 竖直向下拉至 $B$ 点，其中 $AB=3a$，然后由静止释放。

(b) 证明在随后的整个运动过程中，$P$ 只做简谐运动，并说明理由。

$C$ 点位于 $A$ 的正下方，且 $AC=2a$。

用 $a$ 和 $g$ 表示

(c) $P$ 经过 $C$ 的瞬间的速率；

(d) $P$ 从 $B$ 直接运动到 $C$ 所需的时间。

平衡时绳张力等于重力，先求伸长，再加原长才得到 OA。

Let the equilibrium extension be $e$. By Hooke’s law and vertical equilibrium,

Hence $e=4a/3$, and

以平衡位置为原点向下量位移，得到加速度与位移反向成正比。还必须检查振动的最高点处绳仍有正伸长，才能断言整个运动都是简谐运动。

Let $x$ be the downward displacement from $O$. While the string is taut, its extension is $4a/3+x$. Resolving downwards,

Simplifying,

Thus the acceleration is proportional to the displacement from $O$ and directed towards $O$. This is SHM with

The particle starts from rest at $B$, whose displacement is

This is the amplitude. The minimum extension during this SHM is

Therefore the string never becomes slack, the equation remains valid throughout, and $P$ performs only SHM.

C 点比平衡位置高 a/3。代入简谐运动的速率公式，注意振幅为 2a/3，而不是从 A 量起的距离。

At $C$, the displacement from equilibrium is

Using $v^2=\omega^2(A_0^2-x^2)$, where the amplitude $A_0=2a/3$,

Hence the speed is

也可在 B 与 C 之间使用机械能守恒。绳伸长从 2a 变成 a，粒子升高 a。

The extensions at $B$ and $C$ are $2a$ and $a$, respectively. The particle rises through height $a$ from $B$ to $C$. Conservation of mechanical energy gives

Therefore

从最低点静止释放，使用余弦表达式。C 在平衡位置另一侧，所以首次到 C 的相位为 2π/3，不能误取 π/3。

Take $t=0$ at release from $B$ and measure $x$ downwards from $O$. Then

At the first arrival at $C$, $x=-a/3$, so

During the direct motion from $B$ towards the upper turning point, $0<\omega t<\pi$, giving $\omega t=2\pi/3$. Thus