题目

Problem

The finite region enclosed by the curve with equation $y=3-\sqrt{x}$ and the lines $x=0$ and $y=0$ is rotated through $2\pi$ radians about the $x$ -axis, to form a uniform solid $S$ .

Use algebraic integration to

(a) show that the volume of $S$ is $\dfrac{27}2\pi$

(4)

(b) find the $x$ coordinate of the centre of mass of $S$ .

(5)

题目中文翻译

将曲线 $y=3-\sqrt{x}$ 与直线 $x=0$ 、 $y=0$ 围成的有限区域绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度，形成均匀立体 $S$ 。

用代数积分

(a) 证明 $S$ 的体积为 $\dfrac{27}2\pi$ ；

(4)

(b) 求 $S$ 的质心的 $x$ 坐标。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

曲线与 x 轴交于 x=9，旋转后的截面是半径为 y 的圆盘。先展开平方，再手动积分并代入上下限。

答题过程

展开

The curve meets the $x$ axis when

3-\sqrt{x}=0\quad\Rightarrow\quad x=9.

The cross-sectional area perpendicular to the $x$ axis is $\pi y^2$ . Hence

V=\pi\int_0^9(3-\sqrt{x})^2\,\mathrm{d}x=\pi\int_0^9(9-6x^{1/2}+x)\,\mathrm{d}x.

Therefore

V=\pi\left[9x-4x^{3/2}+\frac{x^2}{2}\right]_0^9,

V=\pi\left(81-108+\frac{81}{2}\right)=\boxed{\frac{27}{2}\pi}.

(b)

解法一

思路

展开

均匀立体的质量与体积成正比，质心横坐标等于截面体积矩积分除总体积。分子必须多乘一个 x。

答题过程

展开

For uniform density $\rho$ ,

\bar x=\frac{\rho\pi\int_0^9x(3-\sqrt{x})^2\,\mathrm{d}x}{\rho V}.

The first moment of volume is

\pi\int_0^9(9x-6x^{3/2}+x^2)\,\mathrm{d}x=\pi\left[\frac92x^2-\frac{12}{5}x^{5/2}+\frac{x^3}{3}\right]_0^9.

Evaluating,

\pi\left(\frac{729}{2}-\frac{2916}{5}+243\right)=\frac{243}{10}\pi.

Thus

\bar x=\frac{243\pi/10}{27\pi/2}=\boxed{\frac95}.

M3 2021 June Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程