一个质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 在单一力的作用下沿 $x$ 轴运动。

在 $t$ 秒时，$t\geqslant0$，

• $OP=x$ 米，$0\leqslant x<\dfrac\pi2$；
• 力的大小为 $\sin2x\,\mathrm{N}$，方向指向原点 $O$；
• $P$ 以速率 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿 $x$ 轴正方向运动。

在 $t=0$ 时，$P$ 以速率 $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 经过原点。

(a) 证明 $v=2\cos x$。

(b) 证明当 $x=\dfrac\pi4$ 时，$t=\dfrac12\ln(\sqrt2+1)$。

合力与正 x 方向相反。以 a=v dv/dx 写运动方程后积分，再利用初始条件和二倍角公式。取正根时要使用给定的 x 范围。

Taking the positive $x$ direction as positive,

Separating variables and integrating,

At $x=0$, $v=2$, giving $1=1/2+C$, so $C=1/2$. Thus

As $0\leq x<\pi/2$, $\cos x>0$, and the particle is moving in the positive direction. Hence

利用速度等于 dx/dt 分离变量。sec 的积分可写成对数，代入 x=0、t=0 确定常数，再代 π/4。

From part (a),

Therefore

At $x=0$, $t=0$, so $C=\ln1=0$. When $x=\pi/4$,

Consequently