一个质量为 $0.4\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 连接于一根原长为 $0.8\,\mathrm{m}$、弹性模量为 $0.6\,\mathrm{N}$ 的弹性轻绳的一端，绳的另一端固定于粗糙水平桌面上的 $A$ 点。$P$ 与桌面之间的摩擦系数为 $\dfrac17$。

将质点 $P$ 从 $A$ 以速率 $1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿桌面发射。

质点从 $A$ 运动 $0.8\,\mathrm{m}$ 后经过桌面上的 $B$ 点。

(a) 求 $P$ 经过 $B$ 的瞬间的速率。

质点 $P$ 在桌面上的 $C$ 点停下，其中 $A$、$B$、$C$ 共线。

(b) 求 $P$ 从 $A$ 直接运动到 $C$ 的总路程。

(c) 证明 $P$ 保持静止于 $C$。

从 A 到 B 绳尚未伸长，只有摩擦力消耗动能。先求恒定摩擦力，再用功—能求 B 点速率。

The normal reaction is $0.4g$, so the frictional force while moving is

The string is slack until the particle reaches $B$, where its length equals the natural length $0.8$ m. Thus no elastic energy is stored during $AB$. By the work–energy principle,

Hence

从 B 到 C 绳开始伸长。B 点剩余动能用于克服摩擦和储存弹性势能；先求 BC，再加上 0.8 米。

Let $BC=e$ m, so the string’s extension at $C$ is $e$. Energy from $B$ to the first rest point $C$ gives

Thus

The positive root is

The other root is negative and is inadmissible for an extension. The total distance is

也可把从 A 出发的总路程直接设为未知量。摩擦在全程做功，但弹性势能只取超过原长的伸长。

Let $AC=s$ m, where $s>0.8$. The string extension at $C$ is $s-0.8$. Energy from $A$ to $C$ gives

Expanding,

The root satisfying $s>0.8$ is $s=1.097768\ldots$, so

停下后摩擦力会调整大小，不必继续等于极限值。只要绳张力小于最大静摩擦力，就能由静摩擦平衡而不反向运动。

At $C$, using the unrounded extension from part (b),

The greatest available static friction is

Since $T_C<F_{\max}$, static friction of magnitude $T_C$ can act away from $A$ and balance the tension towards $A$. Therefore $\boxed{P\text{ remains at rest at }C}$.