光滑水平面上的两个固定点 $A$、$B$ 相距 $7\,\mathrm{m}$。

一根弹性轻绳的原长为 $2\,\mathrm{m}$，弹性模量为 $4\,\mathrm{N}$。绳的一端连接于质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$，另一端连接于 $A$。

另一根弹性轻绳的原长为 $3\,\mathrm{m}$，弹性模量为 $2\,\mathrm{N}$。绳的一端连接于 $P$，另一端连接于 $B$。

如图 4 所示，质点 $P$ 静止平衡于 $O$ 点，$A$、$O$、$B$ 共线。

(a) 证明 $OA=2.5\,\mathrm{m}$。

现在质点 $P$ 受到沿 $OB$ 方向、大小为 $6\,\mathrm{N\,s}$ 的冲量。

(b) (i) 证明 $P$ 最初做以 $O$ 为中心的简谐运动。

(ii) 确定此简谐运动的振幅。

$C$ 点位于 $OB$ 上。$P$ 经过 $C$ 时，连接于 $B$ 的绳变松。

(c) 求 $P$ 经过 $C$ 时的速率。

(d) 求 $P$ 从 $O$ 直接运动到 $C$ 所需的时间。

平衡时两绳张力相等。两绳实际长度之和为 7 米，伸长之和为 2 米；统一用 AO 表示长度。

Let $AO=z$ m. Then $BO=7-z$ m, and the extensions of the strings attached to $A$ and $B$ are $z-2$ and $4-z$, respectively. By Hooke’s law and horizontal equilibrium,

Thus

从平衡位置 O 向 B 量位移，两绳伸长分别增加和减少。列出两项张力后化简，只有两绳都绷紧的初段满足这个方程。

Let $x$ be the displacement from $O$ towards $B$. Initially both strings are taut, with extensions $0.5$ m and $1.5$ m. At displacement $x$, their tensions are

Resolving towards $B$,

Hence

The acceleration is proportional to the displacement and directed towards $O$. Therefore the initial motion is SHM with centre $O$ and

冲量决定初速度。O 是初段简谐运动的中心，该处速率为相应简谐解的最大速率，用 vmax=Aω 求振幅参数。

The particle is initially at rest. The impulse gives

At $O$, $x=0$, so the corresponding SHM has maximum speed $3\text{ m s}^{-1}$. If its amplitude is $A_0$,

Thus

This is the amplitude parameter of the initial SHM solution; that equation ceases to apply once either string becomes slack.

B 端绳长减到原长 3 米时松弛，因此 OC=1.5 米。此刻仍可用前一阶段的简谐运动速率公式。

At $C$, $BC=3$ m. Since $OB=7-2.5=4.5$ m,

Using $v^2=\omega^2(A_0^2-x^2)$ at the end of the initial SHM phase,

Therefore

也可比较 O 与 C 的两绳弹性势能。光滑桌面上没有摩擦，动能减少等于总弹性势能增加。

At $O$ the string extensions are $0.5$ m and $1.5$ m, so the total elastic energy is

At $C$, the $B$ string has zero extension while the $A$ string has extension $0.5+1.5=2$ m. Thus

Conservation of energy gives

从 O 向 B 出发，所以以正弦写位移。取第一次到达 C 的锐相位，不用整个四分之一周期。

Take $t=0$ immediately after the impulse. Since $x(0)=0$ and the initial velocity is towards $B$,

At the first arrival at $C$, $x=3/2$, giving

Since the particle is still moving towards $B$, the phase lies between $0$ and $\pi/2$. Therefore