题目

Problem

A particle $P$ is moving in a straight line with simple harmonic motion of period $4\,\mathrm{s}$ . The centre of the motion is the point $O$

At time $t=0$ , $P$ passes through $O$

At time $t=0.5\,\mathrm{s}$ , $P$ is moving with speed $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

(a) Show that the amplitude of the motion is $\dfrac{4\sqrt2}\pi\,\mathrm{m}$

(4)

(b) Find the maximum speed of $P$

(2)

题目中文翻译

质点 $P$ 沿直线做周期为 $4\,\mathrm{s}$ 的简谐运动，运动中心为 $O$ 点。

在 $t=0$ 时， $P$ 经过 $O$ 。

在 $t=0.5\,\mathrm{s}$ 时， $P$ 的速率为 $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

(a) 证明运动的振幅为 $\dfrac{4\sqrt2}\pi\,\mathrm{m}$ 。

(4)

(b) 求 $P$ 的最大速率。

(2)

解答

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t=0 时经过运动中心，所以选择从中心出发的正弦位移表达式，速度用余弦。先由周期求角频率，再代指定时刻的速率。

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Let the amplitude be $A$ . The period is $4$ s, so

\frac{2\pi}{\omega}=4,\qquad \omega=\frac\pi2\text{ rad s}^{-1}.

Choose the positive direction to be the direction of motion at $t=0$ . Since the particle passes through the centre at that instant,

x=A\sin(\omega t),\qquad v=A\omega\cos(\omega t).

At $t=0.5$ , the phase is $\pi/4$ and the velocity is positive. Hence

2=A\frac\pi2\cos\frac\pi4=A\frac\pi{2\sqrt2}.

Therefore

\boxed{A=\frac{4\sqrt2}{\pi}\text{ m}}.

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简谐运动在中心处速率最大，等于振幅乘角频率。

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The maximum speed is

v_{\max}=A\omega=\frac{4\sqrt2}{\pi}\frac\pi2=\boxed{2\sqrt2\text{ m s}^{-1}}.