题目

Problem

In this question solutions relying on calculator technology are not acceptable.

A particle $P$ of mass $2\,\mathrm{kg}$ is moving along the positive $x$ -axis.

At time $t$ seconds, where $t\geqslant0$ , $P$ is $x$ metres from the origin $O$ and is moving away from $O$ with speed $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ where $v=\dfrac1{\sqrt{2x+1}}$

(a) Find the magnitude of the resultant force acting on $P$ when its speed is $\dfrac13\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

(6)

When $t=0$ , $P$ is at $O$

(b) Find the value of $t$ when $P$ is $7.5\,\mathrm{m}$ from $O$

(5)

题目中文翻译

本题不接受依赖计算器技术的解法。

一个质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 沿 $x$ 轴正半轴运动。

在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ， $P$ 距原点 $O$ 为 $x$ 米，正以速率 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 远离 $O$ 运动，其中 $v=\dfrac1{\sqrt{2x+1}}$ 。

(a) 求 $P$ 的速率为 $\dfrac13\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 时所受合力的大小。

(6)

当 $t=0$ 时， $P$ 位于 $O$ 。

(b) 求 $P$ 距 $O$ 为 $7.5\,\mathrm{m}$ 时的 $t$ 值。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先由给定速率找出位置，再用链式法则 a=v dv/dx 求加速度。力的大小是质量乘加速度绝对值，保留精确分数。

答题过程

展开

When $v=1/3$ ,

\frac1{\sqrt{2x+1}}=\frac13\quad\Rightarrow\quad 2x+1=9\quad\Rightarrow\quad x=4.

Differentiating $v=(2x+1)^{-1/2}$ ,

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac12(2x+1)^{-3/2}(2)=-(2x+1)^{-3/2}.

Using the chain rule,

a=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-(2x+1)^{-2}.

At $x=4$ ,

a=-\frac1{81}\text{ m s}^{-2}.

Thus the magnitude of the resultant force is

\boxed{|F|=2\left| -\frac1{81}\right|=\frac2{81}\text{ N}}.

(b)

解法一

思路

展开

速度始终为正，可分离 dx/dt 方程。积分要注意内函数 2x+1 的导数，利用初始位置求常数后手算终点。

答题过程

展开

Since

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac1{\sqrt{2x+1}},

separation of variables gives

\int(2x+1)^{1/2}\,\mathrm{d}x=\int\mathrm{d}t.

Hence

\frac13(2x+1)^{3/2}=t+C.

Using $x=0$ at $t=0$ , $C=1/3$ , so

t=\frac{(2x+1)^{3/2}-1}{3}.

At $x=7.5$ ,

t=\frac{16^{3/2}-1}{3}=\frac{64-1}{3}=\boxed{21\text{ s}}.

M3 2021 Oct Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程