一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于一根原长为 $l$、弹性模量为 $kmg$ 的弹性轻弹簧的一端，其中 $k$ 为常数。弹簧另一端固定于水平地面。

弹簧竖直时，质点 $P$ 静止平衡于 $E$ 点。

如图 1 所示，$E$ 点距地面的高度为 $\dfrac35l$。

(a) 证明 $k=\dfrac52$。

现在将质点 $P$ 从 $E$ 竖直向下移动距离 $\dfrac14l$ 后由静止释放。模型中忽略空气阻力。

(b) 证明 $P$ 做简谐运动。

(c) 求 $P$ 经过 $E$ 时的速率。

(d) 求从释放 $P$ 的瞬间到它首次经过 $E$ 的瞬间所用的时间。

平衡时弹簧受压，压缩量是原长减现长。弹簧向上的推力平衡重力。

At equilibrium the spring is compressed by

By Hooke’s law and vertical equilibrium,

Cancelling $mg$ gives $1=2k/5$, so

以 E 为原点向下量位移，压缩量随位移增加。列出重力减弹簧推力，化为加速度与位移反向成正比。

Let $x$ be the downward displacement from $E$. The compression of the spring is $2l/5+x$. Resolving downwards,

Thus

The acceleration is proportional to the displacement from $E$ and directed towards $E$. Therefore the motion is SHM about $E$, with

The amplitude is $l/4$. The spring’s length varies between $3l/5-l/4=7l/20$ and $3l/5+l/4=17l/20$. It stays above the ground and remains compressed throughout, consistent with this equation of motion.

E 是平衡位置，经过 E 时速率最大，等于振幅乘角频率。

The amplitude is $A=l/4$. At $E$, $x=0$, so

也可直接比较释放位置与 E 的弹性势能。粒子升高 l/4，弹簧压缩量从 13l/20 减到 2l/5。

At release, the compression is $2l/5+l/4=13l/20$. At $E$, it is $2l/5$, and the particle has risen through $l/4$. Conservation of mechanical energy gives

Therefore

Hence

由端点静止释放，第一次到达中心需要四分之一周期。

The time from a turning point to the centre of SHM is one quarter of the period. Hence