一个质量为 $m$ 的光滑小环 $R$ 套在一根细、光滑且固定的竖直杆上。一根长为 $2l$ 的不可伸长轻绳的一端连接于杆上的 $A$ 点，另一端连接于 $R$。质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于绳的中点。如图 2 所示，质点 $P$ 以恒定角速度做水平圆周运动，绳的两半均绷紧，且 $AR=\dfrac{6l}5$。

可假设在此运动中，绳不会缠绕在杆上，且在任何瞬间，三角形 $APR$ 均位于竖直平面内。

(a) 证明绳的下半段中的张力为 $\dfrac{5mg}3$。

(b) 用 $l$ 和 $g$ 表示 $P$ 完成一整圈所需的时间。

两段绳等长使 P 位于 AR 的中垂线上，先由几何求下段与竖直杆的夹角。小环没有竖直运动，光滑杆也没有竖直摩擦力。

Let $\alpha=\angle ARP$, the angle between the lower string and the upward vertical. Since $AP=RP=l$ and $AR=6l/5$, the vertical height from $R$ to the level of $P$ is $3l/5$. Thus

Let the lower tension be $T_2$. For the ring $R$, the pole exerts only a horizontal reaction. Vertical equilibrium gives

Therefore

P 固定于绳的中点，上下两段张力不必相等。先对 P 作竖直平衡求上段张力，再把两张力的水平分量相加作为向心力。

Let $T_1$ be the upper tension. For $P$, the upper tension has an upward component, while the lower tension has a downward component. Vertical equilibrium gives

Using $T_2=5mg/3$ and $\cos\alpha=3/5$,

The radius of the circular path is

Both horizontal tension components act towards the pole, so

Hence

The time for one revolution is therefore