一根长为 $a$ 的轻杆可绕过一端 $O$ 的水平轴在竖直平面内自由转动。质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于杆的另一端。将质点 $P$ 保持静止，使杆与过 $O$ 的竖直向上方向成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\dfrac34$。

随后将质点 $P$ 沿垂直于杆的方向以速率 $u$ 发射。如图 3 所示，杆与过 $O$ 的竖直向上方向成 $\theta$ 角的瞬间，$P$ 的速率为 $v$。

假设空气阻力可忽略。

(a) 证明 $v^2=u^2+\dfrac{2ag}5(4-5\cos\theta)$。

已知 $u^2=\dfrac{6ag}5$，且 $P$ 沿完整的竖直圆周运动。

当 $\theta=\beta$ 时，杆对 $P$ 施加的力为零。

(b) 求 $\cos\beta$ 的值。

杆的力始终垂直瞬时运动方向，不做功，因此机械能守恒。高度用杆与竖直向上方向的余弦表示。

Since $\tan\alpha=3/4$, $\cos\alpha=4/5$. Taking the level of $O$ as zero potential energy, the initial and general heights are $a\cos\alpha$ and $a\cos\theta$. Conservation of mechanical energy gives

Thus

杆可以推也可以拉；题目所求是杆力恰好为零的位置。此时径向合力只由重力分量提供，代入能量求得的速率即可。

Let the signed force exerted by the rod towards $O$ be $T$. Resolving radially towards $O$,

At $\theta=\beta$, the rod force is zero. From part (a) and $u^2=6ag/5$,

Consequently

Cancelling $mg$,