题目

Problem

A light elastic string $AB$ has natural length $11a$ and modulus of elasticity $6mg$

A particle of mass $4m$ is attached to the point $C$ on the string where $AC=8a$ and a particle of mass $2m$ is attached to the end $B$

The end $A$ of the string is attached to a fixed point and the string hangs vertically below $A$ with the particle of mass $4m$ in equilibrium at the point $P$ and the particle of mass $2m$ in equilibrium at the point $Q$ , as shown in Figure 1.

(a) Find the length $AP$

(3)

(b) Find the length $PQ$

(3)

题目中文翻译

弹性轻绳 $AB$ 的原长为 $11a$ ，弹性模量为 $6mg$ 。

一个质量为 $4m$ 的质点连接于绳上的 $C$ 点，其中 $AC=8a$ ；另一个质量为 $2m$ 的质点连接于 $B$ 端。

如图 1 所示，绳的 $A$ 端连接于固定点，绳竖直悬挂于 $A$ 下方，质量为 $4m$ 的质点平衡于 $P$ 点，质量为 $2m$ 的质点平衡于 $Q$ 点。

(a) 求长度 $AP$ 。

(3)

(b) 求长度 $PQ$ 。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

上段绳支承两粒子的总重，原长为 AC=8a。先求上段张力，再由胡克定律求伸长并加回原长。

答题过程

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The upper portion supports both particles, so its tension is

T_{AP}=(4m+2m)g=6mg.

Its natural length is $8a$ , and its modulus remains $6mg$ . If its extension is $x$ , Hooke’s law gives

6mg=\frac{6mg\,x}{8a},\qquad x=8a.

Hence

\boxed{AP=8a+x=16a}.

(b)

解法一

思路

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下段仅支承下方质量 2m 的粒子，原长为 11a−8a=3a，不能使用整绳原长。

答题过程

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For the lower particle, vertical equilibrium gives

T_{PQ}=2mg.

The lower portion has natural length $3a$ . If its extension is $y$ ,

2mg=\frac{6mg\,y}{3a},\qquad y=a.

Therefore

\boxed{PQ=3a+y=4a}.

M3 2022 Jan UNUSED Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程