题目

Problem

A particle $P$ is moving along the $x$ -axis. At time $t$ seconds, where $t\geqslant0$ , $P$ is $x$ metres from the origin $O$ and is moving with speed $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

The acceleration of $P$ has magnitude $\dfrac2{(2x+1)^3}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ and is directed towards $O$

When $t=0$ , $P$ passes through $O$ in the positive $x$ direction with speed $1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

(a) Find $v$ in terms of $x$

(4)

(b) Show that $x=\dfrac12\left(\sqrt{4t+1}-1\right)$

(4)

题目中文翻译

质点 $P$ 沿 $x$ 轴运动。在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ， $P$ 距原点 $O$ 为 $x$ 米，速率为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

$P$ 的加速度大小为 $\dfrac2{(2x+1)^3}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，方向指向 $O$ 。

当 $t=0$ 时， $P$ 以速率 $1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿 $x$ 轴正方向经过 $O$ 。

(a) 用 $x$ 表示 $v$ 。

(4)

(b) 证明 $x=\dfrac12\left(\sqrt{4t+1}-1\right)$ 。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

粒子初始沿正方向运动，指向原点的加速度带负号。用 a=v dv/dx 积分并代入初始条件；结果对有限 x≥0 始终为正，确认不会转向。

答题过程

展开

While $P$ moves away from $O$ ,

v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac2{(2x+1)^3}.

Integrating,

\int v\,\mathrm{d}v=-2\int(2x+1)^{-3}\,\mathrm{d}x,

\frac{v^2}{2}=\frac1{2(2x+1)^2}+C.

At $x=0$ , $v=1$ , so $C=0$ . Therefore

v^2=\frac1{(2x+1)^2}.

The positive branch matches the initial direction:

\boxed{v=\frac1{2x+1}}.

For every finite $x\geq0$ , this remains positive, so the assumed direction is consistent.

(b)

解法一

思路

展开

由 dx/dt 的表达式分离变量并积分，利用初始条件后配方。取根时用 x≥0 排除负根。

答题过程

展开

Using part (a),

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac1{2x+1}.

Separating and integrating,

\int(2x+1)\,\mathrm{d}x=\int\mathrm{d}t,

x^2+x=t+D.

Since $x=0$ at $t=0$ , $D=0$ . Completing the square,

\left(x+\frac12\right)^2=t+\frac14.

As $x\geq0$ , $x+1/2>0$ , so

x+\frac12=\frac12\sqrt{4t+1}.

Hence

\boxed{x=\frac12\left(\sqrt{4t+1}-1\right)}.

M3 2022 Jan UNUSED Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程