质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于一根长为 $a$ 的不可伸长轻绳的一端，另一端连接于固定点 $O$。如图 4 所示，将质点 $P$ 静止保持在 $O$ 正下方，绳绷紧。

随后将质点以速率 $u$ 水平发射，其中 $u>\sqrt{2ag}$。

模型中忽略空气阻力。

绳与过 $O$ 的竖直向上方向成 $\theta$ 角的瞬间，$P$ 的速率为 $v$，且绳变松。

(a) 证明 $3v^2=u^2-2ag$。

从绳变松的瞬间到 $OP$ 下一次水平的瞬间，$P$ 做抛体运动。

从绳变松的瞬间到 $OP$ 下一次水平的瞬间所用的时间为 $T$。

已知 $\theta=30^\circ$，

(b) 证明 $T=\dfrac{2v}g$。

(c) 由此证明绳下一次水平时再次绷紧。

从最低点到松绳位置，先用能量守恒。松绳瞬间张力为零，径向加速度只由重力分量提供，两式消去角度。

The initial height relative to $O$ is $-a$, and the height when the string goes slack is $a\cos\theta$. The gain in height is $a(1+\cos\theta)$. Conservation of energy gives

At the instant of slackening, $T=0$. Resolving towards $O$,

Substituting this into the energy equation,

松绳时速度沿圆的切线向上，竖直分量为 v sin30°。竖直位移是从高于 O 的位置落到 O 水平线，所以为负；利用松绳条件把 a 换成 v²。

At slackening, $\theta=30^\circ$, so the height above $O$ is $a\cos30^\circ=a\sqrt3/2$. The upward vertical component of the tangential velocity is $v\sin30^\circ=v/2$. The slackening condition from part (a) gives

Taking upwards as positive, the displacement to the next horizontal position of $OP$ is $-a\sqrt3/2$. Therefore

Using $a\sqrt3/2=v^2/g$ and multiplying by $2g$,

Since $T>0$,

在松绳位置，粒子位于 O 的初运动方向一侧，切线速度的水平分量指向另一侧。算出到 O 水平线时的总横坐标，证明其到 O 的距离重新等于绳长。

Take the positive horizontal direction to be the initial direction of projection from the lowest point. At slackening, the particle has horizontal coordinate

Its horizontal velocity is directed back across $O$ and is $-v\cos30^\circ$. During time $T=2v/g$, its horizontal displacement is

Thus when $OP$ is next horizontal,

The particle is at the level of $O$ and a horizontal distance $a$ from $O$. Therefore $OP=a$, and $\boxed{\text{the string becomes taut again}}$ at this horizontal position.