质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于一根原长为 $a$、弹性模量为 $2mg$ 的弹性轻绳的一端，另一端连接于粗糙斜面上的固定点 $O$。斜面与水平面成 $\alpha$ 角。

绳沿斜面的最大坡度线。

如图 5 所示，将质点 $P$ 静止保持在斜面上的 $A$ 点，其中 $OA=a$。

将质点 $P$ 从 $A$ 释放，它沿斜面下滑，并在 $B$ 点停下。$P$ 与斜面之间的摩擦系数为 $\mu$，其中 $\mu<\tan\alpha$。

模型中忽略空气阻力。

(a) 证明 $AB=a(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)$。

已知 $\tan\alpha=\dfrac34$ 且 $\mu=\dfrac12$，

(b) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $P$ 从 $A$ 到 $B$ 过程中的最大速率。

(c) 描述 $P$ 到达 $B$ 后的运动，并说明理由。

开始时绳恰为原长，没有弹性能；到 B 时再次静止。重力势能减少用于储存弹性势能与克服摩擦，除去零位移的根后得到 AB。

Let $AB=x>0$. The string’s extension at $B$ is $x$. The normal reaction is $mg\cos\alpha$, so the frictional force during the downward motion is $\mu mg\cos\alpha$. The initial and final kinetic energies are zero. Work–energy therefore gives

Since $x>0$, division by $mgx$ gives

Hence

The assumption $\mu<\tan\alpha$ ensures this distance is positive and the particle initially slides downwards.

对一般下滑距离写能量方程，得到速率平方的开口向下二次式。可配方直接求最大值，也可由合力为零找位置后代回能量式。

With $\tan\alpha=3/4$ and $\mu=1/2$,

At distance $y$ down the plane from $A$, work–energy gives

Therefore

Completing the square,

Since $AB=a/5$, the point $y=a/10$ lies between $A$ and $B$ and gives the maximum. Hence

张力随伸长增加，故沿坡合力从正变负。令其为零确定速率最大的位置，再用能量式求数值。

While the particle slides downwards, the tension at extension $y$ is $2mgy/a$. The downward resultant is

This decreases through zero at $y=a/10$, so the speed increases before this point and decreases afterwards. Using work–energy at this point,

Therefore

到 B 后不能继续假设摩擦力等于极限值。先算不含摩擦的沿坡合力，再与最大静摩擦力比较，确定能否保持静止。

From part (a), $AB=a/5$. Thus the tension at $B$ is

The component of weight down the plane is $3mg/5$, so the resultant of weight and tension along the plane is

The greatest available static friction is

Since $mg/5<2mg/5$, friction of magnitude $mg/5$ can act up the plane and balance the other forces. Therefore $\boxed{P\text{ remains at rest at }B}$.