题目

Problem

A particle $P$ moves in a straight line with simple harmonic motion between two fixed points $A$ and $B$ . The particle performs $2$ complete oscillations per second. The midpoint of $AB$ is $O$ and the midpoint of $OA$ is $C$

The length of $AB$ is $0.6\,\mathrm{m}$ .

(a) Find the maximum speed of $P$

(4)

(b) Find the time taken by $P$ to move directly from $O$ to $C$

(2)

题目中文翻译

质点 $P$ 在两个固定点 $A$ 、 $B$ 之间沿直线做简谐运动，每秒完成 $2$ 次完整振动。 $AB$ 的中点为 $O$ ， $OA$ 的中点为 $C$ 。

$AB$ 的长度为 $0.6\,\mathrm{m}$ 。

(a) 求 $P$ 的最大速率。

(4)

(b) 求 $P$ 从 $O$ 直接运动到 $C$ 所用的时间。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

每秒振动两次给出的是频率，不是角频率。振幅是两端距离的一半；最大速率在中点取得。

答题过程

展开

The frequency is $f=2\,\mathrm{Hz}$ , so the period and angular frequency are

\tau=\frac12\,\mathrm{s},\qquad \omega=\frac{2\pi}{\tau}=4\pi\,\mathrm{s^{-1}}.

The amplitude is half the distance between the extreme positions:

b=\frac{AB}{2}=0.3\,\mathrm{m}.

For SHM, $v^2=\omega^2(b^2-x^2)$ , where $x$ is the displacement from $O$ . This is greatest at $x=0$ . Therefore

\boxed{v_{\max}=\omega b=1.2\pi\,\mathrm{m\,s^{-1}} \approx3.77\,\mathrm{m\,s^{-1}}.}

(b)

解法一

思路

展开

从中心向 $C$ 出发，取朝 $C$ 为正。用正弦写位移，并选第一次到达对应的锐角相位。

答题过程

展开

Take $t=0$ as $P$ passes through $O$ towards $C$ , and take displacement towards $C$ as positive. Then

x=0.3\sin(4\pi t).

Since $C$ is the midpoint of $OA$ ,

OC=0.15\,\mathrm{m}.

At the first arrival at $C$ ,

0.15=0.3\sin(4\pi t),\qquad 4\pi t=\frac{\pi}{6}.

Hence the required time is

\boxed{t=\frac1{24}\,\mathrm{s}\approx0.0417\,\mathrm{s}.}

M3 2022 June Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程