题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

A particle $P$ is moving along a straight line.

At time $t$ seconds, $P$ is a distance $x$ metres from a fixed point $O$ on the line and is moving away from $O$ with speed $\dfrac{50}{2x+3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

(a) Find the deceleration of $P$ when $x=12$

(5)

Given that $x=4$ when $t=1$

(b) find the value of $t$ when $x=12$

(5)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 沿直线运动。

在 $t$ 秒时， $P$ 距直线上固定点 $O$ 为 $x$ 米，正以速率 $\dfrac{50}{2x+3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 远离 $O$ 运动。

(a) 求 $x=12$ 时 $P$ 的减速度大小。

(5)

已知 $t=1$ 时 $x=4$ ，

(b) 求 $x=12$ 时的 $t$ 值。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

速度以位置表示，因此用链式法则把时间导数转为位置导数。加速度是负数，所求减速度大小要取正值。

答题过程

展开

Take the direction away from $O$ as positive. Then

v=50(2x+3)^{-1}.

Differentiating with respect to $x$ ,

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} =-100(2x+3)^{-2}.

By the chain rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ =&\,-\frac{100}{(2x+3)^2}\frac{50}{2x+3}\\ =&\,-\frac{5000}{(2x+3)^3}. \end{align*}

At $x=12$ ,

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =-\frac{5000}{27^3}\,\mathrm{m\,s^{-2}}.

The negative acceleration opposes the motion, so the deceleration is

\boxed{\frac{5000}{19683}\,\mathrm{m\,s^{-2}} \approx0.254\,\mathrm{m\,s^{-2}}.}

(b)

解法一

思路

展开

分离变量后手工积分，并用 $t=1,x=4$ 求常数。题目问的是时刻 $t$ ，不是从该初始条件起经过的时间。

答题过程

展开

Since $v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ ,

(2x+3)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=50.

Separating variables and integrating,

\int(2x+3)\,\mathrm{d}x=\int50\,\mathrm{d}t, \qquad x^2+3x=50t+C.

Using $x=4$ when $t=1$ gives

16+12=50+C,\qquad C=-22.

Thus

x^2+3x=50t-22.

When $x=12$ ,

144+36=50t-22, \qquad \boxed{t=\frac{202}{50}=4.04\,\mathrm{s}.}

M3 2022 June Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程