本题必须展示所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 沿 $x$ 轴运动。

在 $t$ 秒时，$0\leqslant t\leqslant\dfrac23$，$P$ 距原点 $O$ 为 $x$ 米，沿 $x$ 轴正方向的速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，其中

当 $t=0$ 时，$P$ 经过 $O$。

(a) 求 $P$ 的加速度为 $243\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 时的 $x$ 值。

(b) 用 $t$ 表示 $v$。

速度以位置表示，用 $a=v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$。解平方方程后，须检查根是否与实数速度及正向运动一致。

Using the chain rule,

Since $v=(2x+1)^{3/2}$,

Therefore

Setting $a=243$ gives

The negative choice would give $x=-5$, outside the real domain of $(2x+1)^{3/2}$ and inconsistent with the motion away from $O$. Hence $2x+1=9$, so

用速度作为位移的时间导数分离变量。积分求出 $x,t$ 的关系后，再代回速度式；这里不能把某个位置的加速度 $243$ 当成常量。

The differential equation is

Separating variables and integrating,

so

At $t=0$, $x=0$, giving $C=-1$. Thus

Since $0\leq t\leq2/3$, the right-hand side is positive. Taking reciprocals and cubing is therefore valid, giving

也可先用(a)的加速度式消去 $x$，得到仅含 $v,t$ 的微分方程。初始速度由 $x=0$ 得到，仍需完整积分和代初值。

From part (a), $a=3(2x+1)^2$. Since $v=(2x+1)^{3/2}>0$,

Hence

Separating variables,

At $t=0$, $x=0$, so $v=1$ and $C=-3$. Therefore

For the given time interval $1-t>0$, giving