光滑水平桌面上的两点 $A$、$B$ 满足 $AB=4l$。

质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于一根原长为 $l$、弹性模量为 $2mg$ 的弹性轻弹簧的一端，另一端连接于 $A$。质点 $P$ 也连接于另一根原长为 $l$、弹性模量为 $mg$ 的弹性轻弹簧的一端，另一端连接于 $B$。

如图 7 所示，质点 $P$ 静止平衡于桌面上的 $O$ 点，其中 $AO=\dfrac53l$。

将质点 $P$ 沿桌面从 $O$ 向 $A$ 移动距离 $\dfrac12l$ 后由静止释放。

(a) 证明 $P$ 做周期为 $T$ 的简谐运动，其中

(b) 用 $l$ 和 $g$ 表示 $P$ 经过 $O$ 时的速率。

(c) 用 $g$ 表示 $P$ 的最大加速度大小。

(d) 用 $l$ 和 $g$ 表示从释放 $P$ 的瞬间到 $P$ 首次以速率 $\dfrac34\sqrt{gl}$ 运动的瞬间所用的精确时间。

取从平衡位置向 $A$ 的位移为正。左弹簧的伸长减少，右弹簧的伸长增加；两力相减后常数项抵消。写出恢复方程后再推出周期。

Let $x$ be displacement from $O$ towards $A$. Since $AO=5l/3$ and $OB=7l/3$, the spring lengths and extensions are

Resolving towards $A$ and applying Hooke’s law,

Therefore

The acceleration is proportional to the displacement from $O$ and directed towards $O$, so the motion is SHM with

The particle is released from rest at $x=l/2$, so the amplitude is $b=l/2$. Over $-l/2\leq x\leq l/2$, both extensions remain positive: their minimum values are $l/6$ and $5l/6$. Thus the force equation applies throughout the oscillation. Its period is

经过平衡位置时，速率达到振幅乘角频率。题目要速率，因此结果取正。

At $O$, the speed is the maximum SHM speed:

加速度大小与离平衡位置的距离成正比，因此在两个端点最大。

The acceleration magnitude is $\omega^2|x|$, so its maximum occurs at $|x|=b=l/2$:

从正端点静止释放，用余弦位移；第一次向中心运动时速度为负。题给速率要转换为这个阶段的负速度，并选择第一次达到所需速率的锐角相位。

Take $t=0$ at release. Since $x(0)=l/2$ and $\dot x(0)=0$,

On the first passage towards $O$, $\dot x<0$. Thus the required speed $3\sqrt{gl}/4$ corresponds to

Dividing gives

The speed increases from zero to its maximum on $0<\omega t<\pi/2$, so the first solution is $\omega t=\pi/3$. Hence

先由速率—位移关系找出第一次达到目标速率时的位置，再代入端点释放的余弦方程。平方后有两个位置，必须选择首次运动途中的正位移。

For SHM,

At the required speed,

Cancelling $3g/l$ and rearranging,

The particle starts at $x=l/2$ and initially moves towards $O$, so it first reaches the required speed at $x=l/4$, rather than $x=-l/4$.

With time measured from release,

The first phase is $\omega t=\pi/3$, giving