地球的中心为 $O$ 点，将地球视为半径为 $R$ 的固定球体。

在 $t=0$ 时，将质点 $P$ 从地球表面的 $A$ 点以速率 $U$ 竖直向上抛出。

在 $t$ 秒时，$t\geqslant0$，

• $P$ 距 $O$ 为 $x$；
• $P$ 的速率为 $v$；
• $P$ 的加速度大小为 $\dfrac{gR^2}{x^2}$，方向指向 $O$。

模型中忽略空气阻力。

(a) 证明 $v^2=\dfrac{2gR^2}x+U^2-2gR$。

质点 $P$ 首次以速率 $\dfrac12\sqrt{gR}$ 运动时位于 $B$ 点。

(b) 已知 $U=\sqrt{gR}$，用 $R$ 表示距离 $AB$。

(c) 用 $g$ 和 $R$ 表示能保证 $P$ 永不静止的 $U$ 的最小值，并解释理由。

向外取正，引力加速度带负号。利用速度—位置形式积分，并在地表 $x=R$ 处代入初速度；这里重力随位置改变，不能用常加速度公式。

Take the outward radial direction as positive. During the upward motion,

Separating variables and integrating,

which gives

At projection, $x=R$ and $v=U$, so

Substituting and multiplying by $2$,

功—能定理也适用，但引力不是常量，重力做功要通过定积分求出。

Let the mass be $m$. The outward component of the gravitational force at distance $s$ from $O$ is

By the work–energy principle between the surface and distance $x$,

Evaluating the integral,

Dividing by $m/2$ and rearranging gives

将给定的初速率和目标速率分别平方后代入(a)。所得 $x$ 是到地心的距离，最后须减去 $R$ 才是上升高度 $AB$。

At $B$,

Substituting into part (a),

so

The first occurrence is on the upward part of the motion. Since $OA=R$,

逃逸的临界情形允许速率在无限远渐近于零；这不等于在某个有限位置或有限时刻静止。还要说明更小的初速率一定会有有限的转折点。

From part (a),

The first term is positive for every finite $x\geq R$ and tends to zero as $x\to\infty$.

If $U^2<2gR$, setting $v=0$ gives the finite turning distance

Thus such a value of $U$ does not prevent the particle coming to rest.

If $U^2=2gR$, then

at every finite distance. The particle continues outwards, with its speed approaching zero only as $x\to\infty$; it does not come to rest at a finite point. Any greater $U$ also keeps $v^2$ positive.

Therefore the smallest initial speed is