题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

A particle $P$ starts from the origin $O$ and moves along the positive $x$ -axis.

At time $t$ seconds, where $t\geqslant0$

the distance of $P$ from $O$ is $x$ metres
the acceleration of $P$ has magnitude $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$
the speed of $P$ is $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where

v=\frac18t^2\qquad(0\leqslant t<4)

v=\frac18t^2-\frac8t+k\qquad(t\geqslant4)

and $k$ is a constant.

(a) Find the value of $a$ when $t=8$

(3)

Given that $v$ is a continuous function of $t$ and that $x=0$ when $t=0$

(b) find the exact value of $x$ when $t=8$

(6)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 从原点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴正半轴运动。

在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ，

$P$ 到 $O$ 的距离为 $x$ 米；
$P$ 的加速度大小为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ；
$P$ 的速率为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，其中

v=\frac18t^2\qquad(0\leqslant t<4)

v=\frac18t^2-\frac8t+k\qquad(t\geqslant4)

$k$ 为常数。

(a) 求 $t=8$ 时的 $a$ 值。

(3)

已知 $v$ 是 $t$ 的连续函数，且 $t=0$ 时 $x=0$ ，

(b) 求 $t=8$ 时 $x$ 的精确值。

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

当 $t=8$ 时应使用第二段速度。质点沿正方向运动，所以速率可作为有符号速度求导；常数 $k$ 的导数为零。

答题过程

展开

For $t\geq4$ ,

v=\frac18t^2-8t^{-1}+k.

Differentiating with respect to $t$ ,

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =\frac14t+8t^{-2}.

At $t=8$ this is positive. Therefore its magnitude is

\boxed{a=\frac84+\frac8{8^2}=2+\frac18 =\frac{17}{8}\,\mathrm{m\,s^{-2}}.}

(b)

解法一

思路

展开

先用 $t=4$ 处速度连续求 $k$ ，再对两段分别积分。第二段位移的积分下限是 $4$ ，不能将含 $\ln t$ 的式子直接从零代入。

答题过程

展开

Continuity of $v$ at $t=4$ requires

\frac18(4)^2=\frac18(4)^2-\frac84+k, \qquad k=2.

Since the particle moves along the positive $x$ -axis and starts at $O$ , its position at $t=8$ is

x(8)=\int_0^4\frac18t^2\,\mathrm{d}t +\int_4^8\left(\frac18t^2-\frac8t+2\right)\,\mathrm{d}t.

The first integral is

\left[\frac{t^3}{24}\right]_0^4=\frac83.

For the second interval, $t>0$ , so an antiderivative is $t^3/24-8\ln t+2t$ . Hence

\begin{align*} x(8)=&\,\frac83+ \left[\frac{t^3}{24}-8\ln t+2t\right]_4^8\\ =&\,\frac83+\left(\frac{64}{3}-8\ln8+16\right) -\left(\frac83-8\ln4+8\right)\\ =&\,\frac{88}{3}-8\ln\left(\frac84\right). \end{align*}

Therefore

\boxed{x=\left(\frac{88}{3}-8\ln2\right)\,\mathrm{m}.}

M3 2025 Jan Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程