题目

Problem

One end of a light inextensible string of length $a$ is attached to a fixed point $O$ . The other end is attached to a particle $P$ of mass $m$ . The particle is held at rest with the string taut and vertical.

The particle is then projected horizontally with speed $U$ , where $U>\sqrt{2ag}$ .

When the string is horizontal, it comes into contact with a small smooth peg.

The peg is fixed at the point $A$ on the same horizontal level as $O$ , with $OA=\dfrac34a$ .

After the string makes contact with $A$ , the particle $P$ initially moves in a vertical circle centre $A$ .

When the string is taut and $AP$ makes an angle $\theta$ with the horizontal, as shown in Figure 5, the speed of $P$ is $V$ and the tension in the string is $T$ .

(a) Show that $V^2=U^2-\dfrac{ag}2(4+\sin\theta)$

(4)

(b) Find $T$ in terms of $m$ , $g$ , $U$ , $a$ and $\theta$

(4)

Given that $U=\sqrt{\dfrac{19ag}8}$

(2)

题目中文翻译

一根长为 $a$ 的不可伸长轻绳的一端连接于固定点 $O$ ，另一端连接于质量为 $m$ 的质点 $P$ 。将质点保持静止，绳绷紧且竖直。

随后将质点以速率 $U$ 水平发射，其中 $U>\sqrt{2ag}$ 。

绳水平时，它与一个光滑小钉接触。

小钉固定于与 $O$ 等高的 $A$ 点，其中 $OA=\dfrac34a$ 。

绳与 $A$ 接触后，质点 $P$ 最初沿以 $A$ 为圆心的竖直圆周运动。

如图 5 所示，绳绷紧且 $AP$ 与水平面成 $\theta$ 角时， $P$ 的速率为 $V$ ，绳中的张力为 $T$ 。

(a) 证明 $V^2=U^2-\dfrac{ag}2(4+\sin\theta)$ 。

(4)

(b) 用 $m$ 、 $g$ 、 $U$ 、 $a$ 和 $\theta$ 表示 $T$ 。

(4)

已知 $U=\sqrt{\dfrac{19ag}8}$ ，

(2)

解答

(a)

解法一

思路

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接触小钉后，有效圆周半径变为余下绳长 $a/4$ 。从最初最低点到图示位置的总升高，包含先上升的 $a$ 及相对小钉的高度。

答题过程

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After contact with the peg, the fixed portion $OA$ uses $3a/4$ of the string, leaving

AP=a-OA=\frac a4.

The initial position is a distance $a$ below the level of $A$ . At the illustrated position the particle is $(a/4)\sin\theta$ above that level. Its total vertical rise is therefore

\Delta h=a+\frac a4\sin\theta.

The string tension does no work. Conservation of energy from projection gives

\frac12mU^2-\frac12mV^2 =mg\left(a+\frac a4\sin\theta\right).

Multiplying by $2/m$ ,

U^2-V^2=2ag+\frac{ag}{2}\sin\theta.

Rearranging,

\boxed{V^2=U^2-\frac{ag}{2}(4+\sin\theta).}

(b)

解法一

思路

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现在的向心方向指向小钉 $A$ ，半径是 $a/4$ 。质点在小钉水平面上方时，重力的径向分量与张力同向，不能沿用关于 $O$ 的半径。

答题过程

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Resolving towards $A$ , the inward component of the weight is $mg\sin\theta$ . Thus

T+mg\sin\theta=\frac{mV^2}{a/4} =\frac{4mV^2}{a}.

Using part (a),

\begin{align*} T=&\,\frac{4m}{a}\left[U^2-\frac{ag}{2}(4+\sin\theta)\right] -mg\sin\theta\\ =&\,\frac{4mU^2}{a}-2mg(4+\sin\theta)-mg\sin\theta\\ =&\,\boxed{\frac{4mU^2}{a}-8mg-3mg\sin\theta}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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松绳对应张力为零，不是速率为零。求出角度的正弦后，以小圆半径乘正弦得到高于小钉的高度。

答题过程

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At slackening $T=0$ . Since $U^2=19ag/8$ , part (b) gives

0=\frac{4m}{a}\frac{19ag}{8}-8mg-3mg\sin\theta.

Cancelling $mg$ ,

0=\frac{19}{2}-8-3\sin\theta, \qquad \sin\theta=\frac12.

The height above the level of $A$ is therefore

\boxed{h=\frac a4\sin\theta=\frac a8.}

M3 2025 Jan Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程