题目

Problem

A fixed point $O$ is a distance $\dfrac12a$ above a smooth horizontal table. The point $A$ is on the table, vertically below $O$ .

A light elastic string has natural length $a$ and modulus of elasticity $3mg$ . One end of the elastic string is attached to $O$ . The other end of the elastic string is attached to a particle $P$ of mass $m$ .

The particle $P$ moves on the table in a circle centre $A$ , radius $r$ with the elastic string taut and $\text{angle }POA=\theta$ , where $\theta$ is a constant, as shown in Figure 6.

Given that $P$ moves with constant angular speed $\sqrt{\dfrac ga}$

(a) show that $OP=\dfrac32a$ .

(8)

(b) Find, in terms of $m$ and $g$ , the magnitude of the force exerted on $P$ by the table.

(4)

(c) Find, in terms of $m$ , $g$ and $a$ , the sum of the kinetic energy of $P$ and the elastic energy stored in the string. Give your answer in simplest form.

(4)

题目中文翻译

固定点 $O$ 位于光滑水平桌面上方距离 $\dfrac12a$ 处。 $A$ 点位于桌面上，在 $O$ 的正下方。

一根弹性轻绳的原长为 $a$ ，弹性模量为 $3mg$ 。绳的一端连接于 $O$ ，另一端连接于质量为 $m$ 的质点 $P$ 。

如图 6 所示，质点 $P$ 在桌面上沿以 $A$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆周运动，弹性绳绷紧，且 $\angle POA=\theta$ ，其中 $\theta$ 为常数。

已知 $P$ 以恒定角速度 $\sqrt{\dfrac ga}$ 运动，

(a) 证明 $OP=\dfrac32a$ 。

(8)

(b) 用 $m$ 和 $g$ 表示桌面对 $P$ 施加的力的大小。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

水平圆周半径是 $r$ ，而 $OP$ 是绳长。将水平向心方程、三角关系和胡克定律联立后， $r$ 可以约去。

答题过程

展开

Let the string length be $s=OP$ and its tension be $T$ . Its extension is $s-a$ , so

T=\frac{3mg}{a}(s-a).

The angular speed satisfies $\omega^2=g/a$ . Resolving horizontally towards $A$ ,

T\sin\theta=mr\omega^2=\frac{mrg}{a}.\tag{1}

In triangle $OAP$ ,

\sin\theta=\frac r{s}.

Substituting this and Hooke’s law into (1),

\frac{3mg(s-a)}{a}\frac r{s}=\frac{mrg}{a}.

As the circle has $r>0$ , cancel $mrg/a$ to obtain

\frac{3(s-a)}{s}=1, \qquad 3s-3a=s.

Hence

\boxed{OP=s=\frac32a.}

(b)

解法一

思路

展开

竖直方向没有加速度，但张力向上的分量承担了一部分重力。因此桌面支持力小于 $mg$ 。

答题过程

展开

From part (a), the extension is $a/2$ , so

T=\frac{3mg}{a}\frac a2=\frac32mg.

Also

\cos\theta=\frac{OA}{OP} =\frac{a/2}{3a/2}=\frac13.

Let $R$ be the upward normal force exerted by the table. Vertical equilibrium gives

R+T\cos\theta=mg.

Consequently

\boxed{R=mg-\frac32mg\frac13=\frac12mg.}

(c)

解法一

思路

展开

先由几何求 $r$ ，再用 $v=r\omega$ 算动能。弹性势能使用伸长 $a/2$ ，最后将两种能量相加并化为一个式子。

答题过程

展开

By Pythagoras,

r^2=OP^2-OA^2 =\left(\frac{3a}{2}\right)^2-\left(\frac a2\right)^2 =2a^2.

Thus the kinetic energy is

E_K=\frac12m(r\omega)^2 =\frac12m(2a^2)\frac ga=mga.

The elastic potential energy is

E_E=\frac{3mg}{2a}\left(\frac a2\right)^2 =\frac38mga.

Therefore the required sum is

\boxed{E_K+E_E=mga+\frac38mga=\frac{11}{8}mga.}

M3 2025 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程