质点 $P$ 沿 $x$ 轴运动。

在 $t$ 秒时，$t\geqslant1$，

• $P$ 相对于 $O$ 沿 $x$ 轴正方向的位移为 $x$ 米，其中 $x<\dfrac12$；
• $P$ 沿 $x$ 轴正方向的速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$；
• $P$ 沿 $x$ 轴正方向的加速度为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

已知

且 $t=1$ 时，$x=0$、$v=1$，

(a) 用 $x$ 表示 $v$；

(b) 用 $t$ 表示 $v$。

加速度以位置表示，用链式法则 $a=v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$。积分后代初值；开平方时要结合 $x<1/2$ 与最初正速度选择分支。

Using $a=v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$,

Separating variables and integrating,

At $t=1$, $x=0$ and $v=1$, so $C=1/2$. Hence

For $x<1/2$, $1-2x>0$. The velocity starts positive and cannot change sign without vanishing; the only possible zero from this equation is at $x=1/2$, outside the stated domain. Thus

将(a)写成位移的微分方程，分离积分后代入 $t=1,x=0$。因为 $1-2x>0$，对数可直接写成 $\ln(1-2x)$。

By part (a),

Separating variables and integrating,

Using $t=1$ and $x=0$ gives $C=-1$, so

Using $v=1-2x$ again,

In particular, $x=(1-\mathrm{e}^{2-2t})/2<1/2$ at every finite time, consistent with the domain.

也可对 $v=1-2x$ 关于时间求导，直接得到含 $v,t$ 的微分方程。不能把随位置变化的加速度当作常量。

Differentiate the result of part (a) with respect to time:

As $v>0$, separate variables and integrate:

At $t=1$, $v=1$, so $0=-2+C$ and $C=2$. Exponentiating,