一根弹性轻绳的原长为 $3a$，弹性模量为 $mg$。

绳的一端连接于 $A$ 点，另一端连接于 $B$ 点，$AB$ 水平且 $AB=4a$。

质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于绳的中点。

将质点 $P$ 静止保持在 $AB$ 的中点 $C$。

随后将质点 $P$ 从 $C$ 竖直向下以速率 $\sqrt{\dfrac{3ag}2}$ 发射。

如图 3 所示，$P$ 到达 $D$ 点的瞬间的速率为 $V$，其中 $CD=\dfrac{3a}2$。

(a) 证明 $P$ 从 $C$ 向下运动到 $D$ 时，绳中储存的弹性势能增加 $\dfrac12mga$。

将空气阻力视为大小为 $\dfrac15mg$ 的恒力。

利用此模型与功—能原理，

(b) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $V$。

两半绳的原长各为 $3a/2$，在对称位置的伸长相同。先分别算每半绳的弹性势能，再相加，避免把半绳原长与整绳伸长混用。

Each half of the string has natural length $3a/2$ and modulus $mg$. At $C$, each half has actual length $2a$, so its extension is $a/2$. The total elastic energy is

At $D$, symmetry and Pythagoras give

Each half now has extension $5a/2-3a/2=a$. Therefore

The increase is

按功—能原理，重力势能损失用于增加动能、增加弹性势能及克服空气阻力。阻力做功用质点的实际下降路程 $3a/2$。

The vertical fall is $3a/2$, so the loss of gravitational potential energy is $3mga/2$. The work done against air resistance is

The initial speed squared is $3ag/2$. By the work–energy principle and part (a),

Rearranging,

Thus