质量为 $m$ 的质点 $P$ 静止于光滑水平桌面上。

一根原长为 $3L$、弹性模量为 $mg$ 的弹性轻绳的一端连接于 $P$，另一端连接于桌面上的 $A$ 点。

第二根弹性轻绳的原长为 $2L$，弹性模量为 $2mg$，一端也连接于 $P$，另一端连接于桌面上的 $B$ 点，其中 $AB=7L$。

如图 7 所示，质点 $P$ 静止平衡于桌面上的 $E$ 点，$A$、$E$、$B$ 共线，且 $AE=4.5L$。

现在将质点 $P$ 保持在 $AB$ 上的 $C$ 点，其中 $AC=5L$，然后释放。

(a) 证明 $P$ 做以 $E$ 为中心、周期为 $\pi\sqrt{\dfrac{3L}g}$ 的简谐运动。

(b) 用 $L$ 和 $g$ 表示 $P$ 的最大速率。

(c) 用 $L$ 和 $g$ 表示在任意一次完整振动中，$P$ 的速率小于或等于 $\sqrt{\dfrac{gL}{12}}$ 的精确持续时间。

从平衡点 $E$ 向 $B$ 量位移。两个绳的模量及原长不同，应分别代入胡克定律。还需检查振幅范围内没有真正的松绳运动段。

Let $x$ be displacement from $E$ towards $B$. Since $AE=4.5L$ and $EB=2.5L$, the string extensions are

Resolving towards $B$ and applying Hooke’s law,

Thus

The acceleration is proportional to displacement from $E$ and directed towards $E$, so the motion is SHM with

The particle is released from rest at $AC=5L$, so its amplitude is $b=5L-4.5L=L/2$. For $-L/2\leq x\leq L/2$, $e_A$ is always positive and $e_B\geq0$. At the right-hand endpoint $e_B=0$, but the resultant force points back towards $E$, so the particle immediately moves back into the region $e_B>0$. There is no interval of slack-string motion.

The period is therefore

端点释放给出振幅 $L/2$。经过 $E$ 时速率最大，等于振幅乘角频率。

The amplitude is $b=L/2$. Hence the maximum speed, reached at $E$, is

目标速率是最大速率的一半。速率较小的时间位于两个端点附近，一次完整振动内共有四段相同的时间，不能只算第一次达到阈值的时间。

Take $t=0$ at release from $C$. Then

The required speed condition is

During one complete oscillation, put $\phi=\omega t$ with $0\leq\phi\leq2\pi$. The allowed phase intervals are

Their total length is

Consequently the required total time is

也可先把低速条件转成位置范围。速率不超过阈值等价于离中心足够远，再用余弦位移求每段靠近端点的时间。

For SHM,

Thus

The speed condition therefore holds where $|x|\geq\sqrt3L/4$, near either endpoint.

From the initial endpoint, $x=(L/2)\cos(\omega t)$. If $t_1$ is the time to reach the first boundary, then

Each endpoint contributes one such interval on approach and one on departure. The four intervals have equal duration by SHM symmetry. Hence