题目

Problem

A particle $P$ of mass $0.5\,\mathrm{kg}$ moves along the positive $x$ -axis under the action of a single force of magnitude $F$ newtons.

The force acts along the $x$ -axis in the direction of $x$ increasing.

When $P$ is $x$ metres from the origin $O$ , it is moving away from $O$ with speed $\sqrt{8x^{\frac32}-4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

Find $F$ when $P$ is $4\,\mathrm{m}$ from $O$ .

(5)

题目中文翻译

质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 在大小为 $F$ 牛顿的单一力作用下沿 $x$ 轴正半轴运动。

该力沿 $x$ 轴指向 $x$ 增大的方向。

$P$ 距原点 $O$ 为 $x$ 米时，以速率 $\sqrt{8x^{\frac32}-4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 远离 $O$ 运动。

求 $P$ 距 $O$ 为 $4\,\mathrm{m}$ 时的 $F$ 值。

(5)

解答

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速度是位置的函数，应用链式法则得到加速度 $a=v\,\mathrm dv/\mathrm dx$ 。先微分 $v^2$ 可以避免根式求导，再使用牛顿第二定律。

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Let $v$ be the velocity in the positive $x$ direction. Since the particle is moving away from $O$ ,

v^2=8x^{3/2}-4.

Differentiating with respect to $x$ ,

2v\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}=12x^{1/2}.

By the chain rule,

a=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} =v\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}=6\sqrt{x}.

At $x=4$ , $a=12\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ . Hence Newton’s second law gives

\boxed{F=0.5(12)=6\ \mathrm N.}