质点 $P$ 沿 $x$ 轴运动。

在 $t$ 秒时，$P$ 相对于原点 $O$ 的位移为 $x$ 米，其中 $x=0.6\cos\big(kt+\dfrac\pi4\big)$，$k$ 为正常数。

(a) 通过证明下式，证明 $P$ 做简谐运动：

(b) 写出 $P$ 的运动振幅。

(c) 用 $k$ 表示 $P$ 的最大速率。

运动周期为 $4$ 秒。

(d) 用 $\pi$ 表示 $k$。

点 $A$、$B$ 位于 $x$ 轴上、$O$ 的两侧，且 $OA=OB=0.2\,\mathrm{m}$。

(e) 求 $P$ 从 $A$ 直接运动到 $B$ 所用的时间。

对位移关于时间连续求两次导数，并将原位移式代回。最后说明负号表示加速度始终指向中心，而不只是写出一个微分方程。

Differentiating $x=0.6\cos(kt+\pi/4)$ with respect to $t$ gives

Differentiating again,

Since $k>0$, the acceleration is proportional to displacement from $O$ and directed towards $O$. Hence $P$ moves with SHM about $O$, with angular frequency $k$.

余弦函数的取值范围为 $[-1,1]$，所以振幅是位移前的正系数。

Since $-1\leq\cos(kt+\pi/4)\leq1$, the extreme displacements are $\pm0.6\,\mathrm{m}$. Thus the amplitude is

由(a)的速度式，正弦的绝对值最大为 $1$。速率要取速度的大小。

From part (a),

Therefore

周期和角频率满足 $T=2\pi/\omega$，这里 $\omega=k$。

The period is $T=2\pi/k$. Thus

取同一次穿过中心的运动，分别求到达 $+0.2$ 和 $-0.2$ 的时刻，再相减。两个位置不是端点；“直接”运动不包括到端点折返的时间。

By symmetry, the direct travel time between the two positions is the same in either direction. Take the passage from $x=+0.2$ to $x=-0.2$, during which the phase increases through $\pi/2$ and the velocity is negative.

Let the corresponding times be $t_1$ and $t_2$. Using $k=\pi/2$,

On this direct passage the phases lie between $0$ and $\pi$. Hence

The required time is therefore