题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

A particle $P$ is moving along a straight line.

At time $t$ seconds $(t\geqslant0)$ , $P$ is a distance $x$ metres from a fixed point $O$ on the line and is moving away from $O$ with speed $\dfrac{8x}{3+x^2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

(a) Find the magnitude of the acceleration of $P$ when $x=3$

(5)

Given that $x=1$ when $t=2$

(b) find the exact value of $t$ when $x=3$

(5)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 沿直线运动。

在 $t$ 秒时 $(t\geqslant0)$ ， $P$ 距直线上的固定点 $O$ 为 $x$ 米，正以速率 $\dfrac{8x}{3+x^2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 远离 $O$ 运动。

(a) 求 $x=3$ 时 $P$ 的加速度大小。

(5)

已知 $t=2$ 时 $x=1$ ，

(b) 求 $x=3$ 时 $t$ 的精确值。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

用商法则求 $\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ ，再乘速度得到时间加速度。结果有方向，题目所求大小须取绝对值。

答题过程

展开

Take the direction away from $O$ as positive. Then

v=\frac{8x}{3+x^2}.

By the quotient rule,

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} =\frac{8(3+x^2)-8x(2x)}{(3+x^2)^2} =\frac{8(3-x^2)}{(3+x^2)^2}.

Using the chain rule,

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\frac{64x(3-x^2)}{(3+x^2)^3}.

At $x=3$ ,

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =\frac{64(3)(3-9)}{12^3}=-\frac23\,\mathrm{m\,s^{-2}}.

Therefore the magnitude of the acceleration is

\boxed{\frac23\,\mathrm{m\,s^{-2}}.}

(b)

解法一

思路

展开

分离变量后把被积式拆成对数项与幂次项。代入的是时刻 $t=2$ 的初始条件，最后给的是绝对时刻，不是经过的时间。

答题过程

展开

Since $v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ ,

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{8x}{3+x^2}.

For the motion from $x=1$ to $x=3$ , $x>0$ . Separating variables,

\int\left(\frac{3}{8x}+\frac x8\right)\,\mathrm{d}x =\int\mathrm{d}t.

Hence

\frac38\ln x+\frac{x^2}{16}=t+C.

Using $x=1$ when $t=2$ ,

\frac1{16}=2+C, \qquad C=-\frac{31}{16}.

When $x=3$ ,

\frac38\ln3+\frac9{16}=t-\frac{31}{16}.

Therefore

\boxed{t=\left(\frac52+\frac38\ln3\right)\,\mathrm{s}.}

M3 2026 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程