质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于一根长为 $4a$ 的不可伸长轻绳的一端，另一端连接于固定点 $O$。

如图 5 所示，将质点保持在 $A$ 点，其中 $OA=4a$ 且 $OA$ 水平。

将质点以速率 $2\sqrt{ag}$ 竖直向下发射。

绳与过 $O$ 的竖直向下方向成 $\theta$ 角 $\big(0\leqslant\theta\leqslant\dfrac\pi2\big)$ 且仍绷紧时，绳中的张力为 $T$。

假设空气阻力可忽略。

(a) 证明 $T=mg(1+3\cos\theta)$。

(b) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $P$ 在其轨迹最低点的速率。

固定的光滑小水平钉位于 $B$ 点，$B$ 位于 $O$ 正下方距离 $2a$ 处。钉垂直于 $P$ 及绳运动所在的竖直平面。

绳与钉接触后，$P$ 继续在同一竖直平面内沿顺时针方向运动。如图 5 所示，$CB=2a$ 且 $CB$ 水平。

质点经过 $C$ 时，绳仍绷紧。

(c) 用 $a$ 和 $g$ 表示质点经过 $C$ 的瞬间的精确速率。

(d) 用 $m$ 和 $g$ 表示 $P$ 到达 $O$ 的瞬间绳中的张力。

先在以 $O$ 为圆心、半径 $4a$ 的阶段写能量，再列向心方程。张力不等于向心合力，须计入重力的径向分量。

Let $v$ be the speed at the general position before the string meets the peg. The particle has fallen through $4a\cos\theta$ from $A$. Conservation of energy gives

so

Resolving towards $O$,

Substituting (1),

最低点对应 $\theta=0$。用(a)的能量关系求速率，不要把最低点张力代成重力。

At the lowest point, $\theta=0$, so (1) gives

Therefore

碰到光滑小钉后，圆心由 $O$ 改成 $B$，有效半径为 $2a$。能量仍可从最初的 $A$ 直接写到 $C$，因为张力不做功。

After the string meets the peg, $OB=2a$ of its total length $4a$ is fixed, leaving a circular radius $BP=2a$. The speed is continuous when the string first meets the smooth peg.

Point $C$ is at the level of $B$, namely $2a$ below the initial level of $A$. If its speed there is $w$, conservation of energy from $A$ gives

Thus

到达 $O$ 时，质点处于以小钉 $B$ 为圆心的小圆最高点。它回到最初的高度，因此速率回到初速率；向心方向向下，重力和张力同向。

When the particle reaches $O$, it has returned to its initial height. By conservation of energy its speed is therefore

The centre of the current circle is $B$, its radius is $2a$, and $O$ is its highest point. Resolving downwards towards $B$,

Hence

This is positive. Indeed, if $\phi$ is measured from the downward vertical about $B$, the energy and radial equations give $T=mg(4+3\cos\phi)\geq mg$. Thus the string remains taut up to $O$.