题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

A particle $P$ is moving along the positive $x$ -axis.

At time $t$ seconds, $t\geqslant0$ , $P$ is $x$ metres from the origin $O$ and is moving away from $O$ with velocity $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where

v=\frac6{x^2+4}

(a) Find the deceleration of $P$ when $x=3$

(4)

When $t=0$ , $x=3$

When $t=T$ , $x=6$

(b) Find the value of $T$ .

(5)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 沿 $x$ 轴正半轴运动。

在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ， $P$ 距原点 $O$ 为 $x$ 米，正以速度 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 远离 $O$ 运动，其中

v=\frac6{x^2+4}

(a) 求 $x=3$ 时 $P$ 的减速度大小。

(4)

当 $t=0$ 时， $x=3$ 。

当 $t=T$ 时， $x=6$ 。

(b) 求 $T$ 的值。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

速度随位置变化时，加速度是 $v\,\mathrm dv/\mathrm dx$ 。减速度应给出正的大小，不能只对速度关于位置求导就当作加速度。

答题过程

展开

Write $v=6(x^2+4)^{-1}$ . Differentiating,

\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}=-6(x^2+4)^{-2}(2x)=-\frac{12x}{(x^2+4)^2}.

By the chain rule,

a=v\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx} =\frac6{x^2+4}\left(-\frac{12x}{(x^2+4)^2}\right) =-\frac{72x}{(x^2+4)^3}.

At $x=3$ , $a=-216/2197\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ . The velocity is positive, so the particle is slowing down. Its deceleration is

\boxed{\frac{216}{2197}\ \mathrm{m\,s^{-2}}\approx0.0983\ \mathrm{m\,s^{-2}}.}

(b)

解法一

思路

展开

将 $\mathrm dx/\mathrm dt=v$ 分离变量，直接用给定的起止位置和时间做定积分，完整展示多项式积分。

答题过程

展开

Since

\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\frac6{x^2+4},

separating variables gives $(x^2+4)\,\mathrm dx=6\,\mathrm dt$ . Integrating from $x=3$ , $t=0$ to $x=6$ , $t=T$ ,

\int_3^6(x^2+4)\,\mathrm dx=\int_0^T6\,\mathrm dt.

Thus

\left[\frac{x^3}{3}+4x\right]_3^6=6T, \qquad (72+24)-(9+12)=6T.

Hence $75=6T$ , and

\boxed{T=\frac{25}{2}=12.5\ \mathrm s.}

M3 2026 June Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程