图 1 所示的均匀杆 $AB$ 的质量为 $M$，长为 $3a$。

杆在 $A$ 点光滑铰接于固定点，可在竖直平面内转动。

一个光滑小环固定于 $C$ 点，$C$ 距 $A$ 为 $3a$，与 $A$ 等高，且位于 $AB$ 所在的竖直平面内。

弹性轻绳的一端连接于 $A$，绳穿过 $C$ 点的小环，另一端连接于 $B$。

杆静止平衡，$\angle BCA=\theta^\circ$，其中 $0<\theta<45$。

(a) 证明绳中的张力为 $\dfrac{Mg\cos(2\theta^\circ)}{2\sin\theta^\circ}$。

已知绳的原长为 $3a$，弹性模量为 $\dfrac25Mg$，

(b) 证明 $\tan(2\theta^\circ)=\dfrac54$。

三角形 $ABC$ 是等腰三角形，可由底角求杆与水平线的夹角。绕铰链 $A$ 取矩，消去铰链反力，并使用均匀杆中点的重力力臂。

Since $AB=AC=3a$, the base angles at $B$ and $C$ are both $\theta^\circ$. Thus

and the rod makes angle $2\theta^\circ$ above the horizontal to the right of $A$.

Let the string tension be $T$. Taking moments about $A$, the tension at $B$ has moment arm $3a\sin\theta^\circ$. The weight acts at the midpoint of the rod, with horizontal moment arm $(3a/2)\cos(2\theta^\circ)$. Therefore

Since $0<\theta<45$, $\sin\theta^\circ>0$, so

整根绳的原长恰好等于 $AC$，因此整根绳的伸长量等于 $BC$，而不是 $BC-3a$。先求 $BC$，再将胡克定律与第(a)问的张力相等。

In the isosceles triangle $ABC$, projecting the two equal sides onto $BC$ gives

The string has total length $AC+CB=3a+6a\cos\theta^\circ$. Its extension beyond natural length $3a$ is therefore $6a\cos\theta^\circ$. By Hooke’s law,

Equating this with (a),

so

Since $0<2\theta<90$, division by the positive cosine is valid. Hence