图 3 所示的阴影区域由 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴及曲线 $(x+3)^2+y^2=25$ 围成。

两个坐标轴上的长度单位均为 $1\,\mathrm{m}$。

将阴影区域绕 $x$ 轴旋转 $2\pi$ 弧度，形成旋转体，用来模拟均匀立体 $S$。

$S$ 的体积为 $\dfrac{52}3\pi\,\mathrm{m^3}$。

(a) 用代数积分证明 $S$ 的质心到 $O$ 的距离为 $\dfrac9{13}\,\mathrm{m}$。

从半径为 $4\,\mathrm{m}$ 的均匀实心半球中挖去与 $S$ 大小、形状相同的立体 $T$。$T$ 的平面底面与半球的平面底面重合。

剩余立体的形状为图 4 所示的碗，$A$、$B$ 位于碗口圆周上，$AB$ 是碗口的直径。

碗的质心到 $AB$ 中点的距离为 $d$ 米。

(b) 证明 $d=\dfrac{39}{19}$。

现在将碗从 $A$ 悬挂，使其自由悬挂平衡，$AB$ 与竖直向下方向成 $\theta^\circ$ 角。

(c) 求 $\theta$ 的值。

绕 $x$ 轴旋转，圆盘截面积要用 $\pi y^2$。积分范围由曲线与正 $x$ 轴的交点决定；将质量矩除以给定体积，密度会约去。

On the positive $x$-axis, $(x+3)^2=25$ gives $x=2$. For $0\le x\le2$,

Let $\rho$ be the uniform density. The first mass moment about the plane $x=0$ is

Algebraic integration gives

Using the given volume $52\pi/3$, the mass is $52\rho\pi/3$. Hence

By rotational symmetry the centre of mass lies on the $x$-axis, so this is its distance from $O$.

以碗口平面为共同参考面，将挖掉的立体作为负质量。实心半球质心距平面为 $3r/8$，挖去部分的质心距离承接第(a)问。

Let $H$ be the midpoint of $AB$ and measure depth perpendicular to the rim plane into the bowl. The original hemisphere has volume and centre-of-mass depth

The removed solid has volume $52\pi/3$ and centre-of-mass depth $9/13\ \mathrm m$. Using a common density $\rho$, subtraction of mass moments gives

Thus

自由悬挂时，悬点 $A$ 与质心 $G$ 的连线竖直向下。利用原来互相垂直的 $AH$ 和 $HG$ 求出 $AB$ 与这条竖直线的夹角。

Let $G$ be the centre of mass and $H$ the midpoint of $AB$. By symmetry, $HG$ is perpendicular to the rim plane, with

When the bowl hangs freely from $A$, $AG$ is vertically downwards. Since $AH$ lies along $AB$, the required angle is $\angle HAG$. In the right triangle $AHG$,

Therefore