题目

Problem

The curve $C$ has equation

\begin{align*} y=\frac4x+k, \end{align*}

where $k$ is a positive constant.

(a) Sketch a graph of $C$ , stating the equation of the horizontal asymptote and the coordinates of the point of intersection with the $x$ -axis.

(3)

The line with equation $y=10-2x$ is a tangent to $C$ .

(b) Find the possible values for $k$ .

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

$y=\frac4x$ 向上平移 $k$ 个单位，所以水平渐近线是 $y=k$ 。求 $x$ 轴截距时令 $y=0$ 。

答题过程

展开

The horizontal asymptote is

\begin{align*} y=k. \end{align*}

For the $x$ -intercept,

\begin{align*} 0=&\,\frac4x+k\\ kx=&\,-4\\ x=&\,-\frac4k. \end{align*}

So the curve crosses the $x$ -axis at

\begin{align*} \left(-\frac4k,0\right). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

切线与曲线只有一个交点。联立直线和曲线后得到关于 $x$ 的二次方程；只有一个交点意味着判别式等于 $0$ 。

答题过程

展开

At the point of contact,

\begin{align*} 10-2x=&\,\frac4x+k. \end{align*}

Multiply by $x$ :

\begin{align*} 10x-2x^2=&\,4+kx\\ 2x^2+(k-10)x+4=&\,0. \end{align*}

For tangency,

\begin{align*} (k-10)^2-4(2)(4)=&\,0\\ (k-10)^2=&\,32\\ k-10=&\,\pm4\sqrt2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} k=10\pm4\sqrt2. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以用切线斜率。直线斜率是 $-2$ ，曲线的导数在切点也必须等于 $-2$ 。先找切点的 $x$ 坐标，再代回两条式子求 $k$ 。

答题过程

展开

For

\begin{align*} y=\frac4x+k, \end{align*}

we have

\begin{align*} \frac{dy}{dx}=-\frac{4}{x^2}. \end{align*}

Since the tangent has gradient $-2$ ,

\begin{align*} -\frac4{x^2}=&\,-2\\ x^2=&\,2\\ x=&\,\pm\sqrt2. \end{align*}

On the line $y=10-2x$ .

If $x=\sqrt2$ ,

\begin{align*} y=10-2\sqrt2. \end{align*}

Substitute into $y=\frac4x+k$ :

\begin{align*} 10-2\sqrt2 =&\,\frac4{\sqrt2}+k\\ =&\,2\sqrt2+k, \end{align*}

\begin{align*} k=10-4\sqrt2. \end{align*}

If $x=-\sqrt2$ ,

\begin{align*} y=10+2\sqrt2. \end{align*}

Then

\begin{align*} 10+2\sqrt2 =&\,\frac4{-\sqrt2}+k\\ =&\,-2\sqrt2+k, \end{align*}

\begin{align*} k=10+4\sqrt2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} k=10\pm4\sqrt2. \end{align*}

IAL 2019 Oct Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程