题目

Problem

The curve $C_1$ has equation $y=f(x)$ , where

\begin{align*} f(x)=(4x-3)(x-5)^2. \end{align*}

(a) Sketch $C_1$ showing the coordinates of any point where the curve touches or crosses the coordinate axes.

(3)

(b) Hence or otherwise

(i) find the values of $x$ for which $f\left(\dfrac{x}{4}\right)=0$ ,

(ii) find the value of the constant $p$ such that the curve with equation $y=f(x)+p$ passes through the origin.

(2)

A second curve $C_2$ has equation $y=g(x)$ , where $g(x)=f(x+1)$ .

(ii) Hence, or otherwise, find the $y$ intercept of curve $C_2$ .

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

因式分解形式已经给出。 $4x-3=0$ 是一次因式，所以图像穿过 $x$ 轴； $(x-5)^2=0$ 是重复根，所以图像在 $x=5$ 处接触 $x$ 轴。

答题过程

展开

The $x$ -intercepts are

\begin{align*} 4x-3=0&\quad\Rightarrow\quad x=\frac34,\\ (x-5)^2=0&\quad\Rightarrow\quad x=5. \end{align*}

At $x=0$ ,

\begin{align*} f(0)=(-3)(-5)^2=-75. \end{align*}

So the sketch is a positive cubic shape, crossing the $x$ -axis at $\left(\frac34,0\right)$ , touching the $x$ -axis at $(5,0)$ , and crossing the $y$ -axis at $(0,-75)$ .

(b)

解法一

思路

展开

若 $f\left(\frac{x}{4}\right)=0$ ，则 $\frac{x}{4}$ 必须等于 $f$ 的零点。第二问让新图像过原点，所以代入 $x=0,y=0$ 。

答题过程

展开

From part (a), $f(u)=0$ when

\begin{align*} u=\frac34 \quad\text{or}\quad u=5. \end{align*}

\begin{align*} \frac{x}{4}=\frac34 \quad\text{or}\quad \frac{x}{4}=5. \end{align*}

Hence

\begin{align*} x=3\quad\text{or}\quad x=20. \end{align*}

For $y=f(x)+p$ to pass through the origin,

\begin{align*} 0=f(0)+p=-75+p. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} p=75. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

$g(x)=f(x+1)$ ，所以把 $f(x)$ 里的每个 $x$ 都换成 $x+1$ 。求 $y$ 轴截距时再令 $x=0$ 。

答题过程

展开

\begin{align*} g(x) =&\,f(x+1)\\ =&\,(4(x+1)-3)(x+1-5)^2\\ =&\,(4x+1)(x-4)^2. \end{align*}

At the $y$ -intercept, $x=0$ , so

\begin{align*} g(0)=&\,(1)(-4)^2\\ =&\,16. \end{align*}

Therefore the $y$ intercept is $16$ , or $(0,16)$ .

IAL 2020 Jan Q10

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程