题目

Problem

Given $y=3^x$ , express each of the following in terms of $y$ . Write each expression in its simplest form.

(a) $3^{3x}$

(1)

(b) $\dfrac{1}{3^{x-2}}$

(2)

解答

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因为 $y=3^x$ ，所以只要把 $3^{3x}$ 写成 $(3^x)^3$ 。

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\begin{align*} 3^{3x}=&\,(3^x)^3\\ =&\,y^3. \end{align*}

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用指数律把 $3^{x-2}$ 拆成 $3^x\cdot3^{-2}$ ，再代入 $3^x=y$ 。

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\begin{align*} \frac{1}{3^{x-2}} =&\,\frac{1}{3^x\cdot3^{-2}}\\ =&\,\frac{1}{y\cdot\frac19}\\ =&\,\frac9y. \end{align*}

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先把 $81$ 和 $9$ 都写成以 $3$ 为底的幂，然后用指数相减。

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\begin{align*} \frac{81}{9^{2-3x}} =&\,\frac{3^4}{(3^2)^{2-3x}}\\ =&\,\frac{3^4}{3^{4-6x}}\\ =&\,3^{6x}\\ =&\,(3^x)^6\\ =&\,y^6. \end{align*}