题目

Problem

Figure 1 shows part of the curve with equation $y=x^2+3x-2$ .

Figure 1

The point $P(3,16)$ lies on the curve.

(a) Find the gradient of the tangent to the curve at $P$ .

(2)

The point $Q$ with $x$ coordinate $3+h$ also lies on the curve.

(b) Find, in terms of $h$ , the gradient of the line $PQ$ . Write your answer in simplest form.

(3)

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

切线斜率就是导数在 $x=3$ 时的值。

答题过程

展开

\begin{align*} y=&\,x^2+3x-2,\\ \frac{dy}{dx}=&\,2x+3. \end{align*}

At $x=3$ ,

\begin{align*} \frac{dy}{dx}=2(3)+3=9. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先求 $Q$ 的 $y$ 坐标，再用两点斜率公式。这里 $P$ 的坐标是 $(3,16)$ ， $Q$ 的横坐标是 $3+h$ 。

答题过程

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For $Q$ ,

\begin{align*} y_Q=&\,(3+h)^2+3(3+h)-2\\ =&\,9+6h+h^2+9+3h-2\\ =&\,16+9h+h^2. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \text{gradient of }PQ =&\,\frac{(16+9h+h^2)-16}{(3+h)-3}\\ =&\,\frac{9h+h^2}{h}\\ =&\,9+h. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

当 $h$ 越来越接近 $0$ 时，点 $Q$ 越来越接近点 $P$ ，割线 $PQ$ 的斜率会趋近于切线斜率。

答题过程

展开

As $h\to0$ ,

\begin{align*} 9+h\to9. \end{align*}

So the gradient of $PQ$ tends to the gradient of the tangent at $P$ .

IAL 2020 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程