题目

Problem

The line $l_1$ has equation $3x-4y+20=0$ .

The line $l_2$ cuts the $x$ -axis at $R(8,0)$ and is parallel to $l_1$ .

(a) Find the equation of $l_2$ , writing your answer in the form $ax+by+c=0$ , where $a$ , $b$ and $c$ are integers to be found.

(3)

The line $l_1$ cuts the $x$ -axis at $P$ and the $y$ -axis at $Q$ .

Given that $PQRS$ is a parallelogram, find

(b) the area of $PQRS$ ,

(3)

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

平行线斜率相同。也可以直接保持 $3x-4y+c=0$ 的形式，再代入点 $R(8,0)$ 求 $c$ 。

答题过程

展开

Since $l_2$ is parallel to $l_1$ , write

\begin{align*} 3x-4y+c=0. \end{align*}

As $R(8,0)$ lies on $l_2$ ,

\begin{align*} 3(8)-4(0)+c=&\,0\\ c=&\,-24. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} 3x-4y-24=0. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先求 $P,Q$ 。由于 $PQ$ 和 $RS$ 平行， $PR$ 是水平距离， $OQ$ 是垂直高度，所以平行四边形面积可用底乘高。

答题过程

展开

For $P$ , set $y=0$ in $3x-4y+20=0$ :

\begin{align*} 3x+20=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{20}{3}. \end{align*}

\begin{align*} P=\left(-\frac{20}{3},0\right). \end{align*}

For $Q$ , set $x=0$ :

\begin{align*} -4y+20=0 \quad\Rightarrow\quad y=5. \end{align*}

So $Q=(0,5)$ .

The horizontal distance $PR$ is

\begin{align*} 8-\left(-\frac{20}{3}\right)=\frac{44}{3}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \text{Area} =&\,\frac{44}{3}\cdot5\\ =&\,\frac{220}{3}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

在平行四边形 $PQRS$ 中，从 $Q$ 到 $R$ 的位移等于从 $P$ 到 $S$ 的位移。

答题过程

展开

\begin{align*} \overrightarrow{QR} =&\,(8,0)-(0,5)\\ =&\,(8,-5). \end{align*}

Therefore

\begin{align*} S=&\,P+\overrightarrow{QR}\\ =&\,\left(-\frac{20}{3},0\right)+(8,-5)\\ =&\,\left(\frac43,-5\right). \end{align*}

IAL 2020 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程